松滋市第一中学2016-2017学年高三年级上学期第一次考试

数学（理科）试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
为虚数单位，复数
满足
，则
（ ）

A.1 B.-1 C.
D.

2．已知集合
，
，那么
。

A．
B．

C．
D．

3．在
中，
，则
（）

A．
B．
C．
D．
或

4．若函数
，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．5

5．若
是定义在
上的偶函数，
，有
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知集合
，
，则
的子集个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，（
，
为自然对数的底数）与
的图象上存在关

于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．在平面几何里有射影定理：设三角形
的两边
，
是
点在
上的射影，则
．拓展到空间，在四面体
中，
⊥面
，点
是
在面
内的射影，且
在
内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）

A．
B．

C．
D．

11．已知函数
,若
,且
对任意的
恒成立,则
的最大

值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．函数
的定义域是 .

14．定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足下述条件:①
，②若
，
；③
，则
.

15．已知函数
的解集为
，若
，则实数
的取值范围为__________________．

16．已知函数
,给出下列命题：

①
,使
为偶函数.

②若
,则
的图像关于
对称.

③若
,则
在区间
上是增函数.

④若
,则函数
有
个零点.

其中正确命题的序号为 ．

三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)

17．设
：方程
有两个不等的负根，
：方程
无实根，若
为真，
为假，求的取值范围．

18．已知
为定义在R上的奇函数，当
时，
为二次函数，且满足
，
在
上的两个零点为1和3．

（1）求函数
在R上的解析式；

（2）若
时，函数
的图像恒在
的上方，求m的取值范围．

19．已知函数
.

（Ⅰ）计算
，
，
及
的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明；

（Ⅲ）求值：
.

20．已知函数
对实数
满足
，若当
时，
。

（1）求
时，
的解析式；

（2）求方程
的实数解的个数。

21．设函数
，其中
为正实数．

（Ⅰ）若
在
上是单调减函数，且
在
上有最小值，求
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
与
都没有零点，求
的取值范围．

注意22题和23题只选一题

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位。已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），曲线
的极坐标方程为
。

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于
两点，当
变化时，求
的最小值。

23．已知函数
。

（Ⅰ）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值。

参考答案

1．ABBCDA 7．BCB ABC

13．
14．2 15．
16．①②③

17．

18．（1）
（2）

试题解析： （1）由题意，当
时，设
，

，∴
，∴
，

当
时，
，∵
为R上的奇函数，∴
，

∴
，

即
时，
，

当
时，由
得：

所以
．

（2）若
时，函数
的图像恒在

的上方，则
时，函数
的最小值大于
．

当
时，
其最小值为, f（－2）=－1，

当
时，函数
的图像开口向下，

令
=-3，解得x=0或x=4， 综上可知，
.



19．（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）4029

试题解析：（Ⅰ）解得
，
，
，

（Ⅱ）猜想：
，证明如下。

∵
，则

∴

（Ⅲ）∵

∴
,
,...,
,

且
,即

∴

20．（1）
（2）2

试题解析：（1）
，即

,

（2）

是奇函数，

且以2为周期。方程
的实数解的个数也就是函数

的交点的个数。在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，

所以方程
的实数解的个数为2。

考点：1.函数性质及代数推理能力；2.函数的零点及数形结合方法；

21．（Ⅰ）
（Ⅱ）

试题解析：（Ⅰ）
，

∵
时，
；
时，
，

∴
在
上是增函数，在
上是减函数，又
在
上是减函数，∴
．

又
，∴
时，
；
时，
，

∴
时，
最小，∴
时，∴
，∴
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
时，
取得最大值，
，
取得最小值，

由题意可得
且
，

∴
∴
即
．

22．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
。

试题解析：

（Ⅰ）由
得
，

∴曲线
的直角坐标方程为
。

（Ⅱ）将直线
的参数方程代入
得到
，

设
两点对应的参数分别是
，则
。

∴
，当
时取到等号。

∴
。

23．（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时，
在
上的最大值为
；当
时，
在
上的最大值为
；当
时，
在
上的最大值为0。

试题解析：解：（1）不等式
对
恒成立，即
()对
恒成立，①当
时，（）显然成立，此时
；②当
时，()可变形为
，令

因为当
时，
，当
时，
，所以
，故此时
。综合①②，得所求实数
的取值范围是
。

（2）因为
=
①当
时，结合图形可知
在
上递减，在
上递增，且
，经比较，此时
在
上的最大值为
。

②当
时，结合图形可知
在
，
上递减，在
，
上递增，且
，
，经比较，知此时
在
上的最大值为
。

③当
时，结合图形可知
在
，
上递减，在
，
上递增，且
，
，经比较，知此时
在
上的最大值为
。

④当
时，结合图形可知
在
，