温州中学2016学年第一学期高三10月高考模拟考试

数学试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

（命题老师：周浙柳 审题老师：徐芳芳 命题时间：2015年9月）

选择题部分（共50分）

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．若整数x，y满足不等式组
则2x＋y的最大值是（ ）

A．11 B．23 C．26 D．30

3．下列命题中错误的是（ ）

A. 如果平面
平面
，平面
平面
，
，那么

B. 如果平面
平面
，那么平面
内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面
不垂直于平面
，那么平面
内一定不存在直线垂直于平面

D. 如果平面
平面
，过
内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

4．已知函数
的图象与
轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，则
是减函数的区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．在平面斜坐标系
中
，点
的斜坐标定义为：“若
（其中
分别为与斜坐标系的
轴，
轴同方向的单位向量），则点
的坐标为
”．若
且动点
满足
，则点
在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有（ ）

A．12 B．14 C．16 D．18

7．数列
满足
，
，则
的整数部分是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．在△ABC中，已知
，P为线段AB上的点，且
的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题4分，共36分．

9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是

▲ ，四个面的面积中最大的是 ▲ ．

10．已知实数
满足
，则直线
恒过定点 ▲ ，该直线被圆
所截得弦长的取值范围为 ▲

11．已知向量
，
= ▲ 、
= ▲ ，设函数
R），
取得最大值时的x的值是 ▲ .

12．复数
（
为虚数单位）为纯虚数,则复数
的模为 ▲ ．已知
的展开式中没有常数项,且
，则
▲ .

13．将函数
的图像绕原点顺时针方向旋转角
得到曲线
.若对于每一个旋转角
，曲线
都是一个函数的图像，则
的取值范围是 ▲ ．

14．已知数列
满足：
，用[x]表示不超过x的最大整数，则
的值等于 ▲ ．

15．三棱锥
中，
两两垂直且相等，点
，
分别是
和
上的动点，且满足
，
，则
和
所成角余弦值的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分14分）已知函数

(Ⅰ)求函数
图象对称中心的坐标；

(Ⅱ)如果
的三边
满足
，且边
所对的角为
，求
的取值范围。

17．（本题满分15分）如图，已知平面

平面
，
与
分别是棱长为1与2的正三角形，
//
，四边形
为直角梯形，
//
，
，点
为
的重心，
为
中点，
，

（Ⅰ）当
时，求证：
//平面

（Ⅱ）若直线
与
所成角为
，试求二面角
的余弦值。

18．（本题满分15分）设直线
与抛物线
交于
两点，与椭圆
交于
，
两点，直线
（
为坐标原点）的斜率分别为
，若
.

（1）是否存在实数
，满足
，并说明理由；

（2）求
面积的最大值.

19．（本题满分15分）已知函数

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

（III）当
时，方程
有实根，求实数
的最大值.

20．（本题满分15分）已知数列
，
，
，
．记
．

求证：当
时

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
；

（Ⅲ）

温州中学2016学年第一学期高三10月高考模拟考试

数学试卷参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

D

A

D

B

B

C



二、填空题（本大题共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题4分，共36分）

9．1，
10．
；
11．

Z.

12．
5 13．[0，
14．1

15．

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．解：（Ⅰ）

由
=0即

即对称中心为

（Ⅱ）由已知b2=ac，

即
的范围是
。

17.（本题满分15分）

解：（Ⅰ）连
延长交
于
，

因为点
为
的重心，所以

又
，所以
，所以
//
；

因为
//
，
//
，所以平面
//平面
，

又
与
分别是棱长为1与2的正三角形，

为
中点，
为
中点,
//
,又
//
，

所以
//
，得
四点共面

//平面

（Ⅱ）平面

平面
，易得平面

平面
，

以
为原点，
为x轴，
为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系，

则
，设
，

，
，

因为
与
所成角为
，所以
，

得
，
，
，

设平面
的法向量
，则
，取
，

面
的法向量
，所以二面角
的余弦值
。

18．（本小题满分15分）

解：设直线
方程为
，
，
，
，
.

联立
和
，

得
，

则
，
，
.

由
，所以
，得
.

联立
和
，得

，

所以
，
.

由
，得
.

（1）因为
，

所以
.

（2）根据弦长公式
，得：

，

根据点
到直线
的距离公式，得
，

所以
，

设
，则
，

所以当
，即
时，
有最大值
.

19．解：（I）

因为
为
的极值点，所以
，即
，解得
。……4分

（II）因为函数
在
上为增函数，所以

在
上恒成立。………6 分

(当
时，
在
上恒成立，所以
在
上为增函数，故
符合题意。 … ……7分

(当
时，由函数
的定义域可知，必须有
对
恒成立，故只能
，所以
在
上恒成立。 ………8分

令函数
，其对称轴为
，因为
，所以
，要使
在
上恒成立，只要
即可，即
，所以
。因为
，所以
。

综上所述，a的取值范围为
。 ………10分

（Ⅲ）当
时，方程
可化为
。

问题转化为
在
上有解，即求函数
的值域。

因为函数
，令函数