河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考

数学（文）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知
是虚数单位，则复数
（ ）

A．
B．2 C．
D．

2.命题“
，
”的否定是（ ）

A．
B．

C．
D．

3.已知
，
，
，则
的大小是（ ）

A．
B．

C．
D．

4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则
处的条件为（ ）

A．
B．
C.
D．

5.将函数
的图象向左平移
个单位，所得的函数关于
轴对称，则
的一个可能取值为（ ）

A．
B．
C.0 D．

6.设
是公差不为零的等差数列
的前
项和，且
，若
，则当
最大时，
（ ）

A．6 B．7 C.10 D．9

7.已知两个不同的平面
、
和两个不重合的直线
、
，有下列四个命题：

①若
，
，则
； ②若
，则
；

③若
，
，则
； ③若
，则
，其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8.设
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）

A．8 B．4 C．2 D．

9.设三棱柱
的侧棱垂直于底而
，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）

A．
B．
C.
D．

10.在
中，
，
，
，则
在
方向上的投影是（ ）

A．4 B．3 C.
D．5

11.如图，已知椭圆
的中心为原点
，
为
的左焦点，
为
上一点，满足
且
，则椭圆
的方程为（ ）

A．
B．
C.
D．

12.已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
的大小关系是( )

A．
B．
C.
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在
中，
，
的面积为
，则
．

14.圆心在直线
上的圆与
轴交于两点
，则该圆的标准方程为 .

15.函数
的图象恒过定点
，若点
在直线
上，其中
，则
的最小值为 .

16.设
，若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本小题满分12分)

已知等差数列
满足
，前3项和
．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列
满足
，
，求
前
项和
．

18.（本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
，
，
，
，
，
，
分组的频率分布直方图如图：

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；

（Ⅲ）在月平均用电量为
，
，
，
的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在
的用户中应抽取多少户？

19.（本小题满分12分）

如图，
是
的直径，点
是
上的动点，
垂直于
所在的平面
.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）设
，求三棱锥
的高.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知圆
和圆
.

（Ⅰ）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

（Ⅱ）设
为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点
的无穷多对相互垂直的直线
和
，它们分别与圆
和
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点
的坐标.

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
是自然对数的底数），
.

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
的最大值；

（Ⅲ）设
，其中
为
的导函数，证明：对任意
，
．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图
是
直径，
是
切线，
交
与点
．

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
是
切线；

（Ⅱ）若
，求
的大小．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
是参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
．

（Ⅰ）判断直线
与曲线
的位置关系；

（Ⅱ）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
图象与
轴围成的三角形面积大于6，求
的取值范围．

17届（高三）第一次联考

数学（文）试卷

试卷答案

一、选择题

1-5:DCABB 6-10:BDADC 11、12：CD

二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.解（Ⅰ）设
的公差为
，则由已知条件得
，
.化简得
，

解得
，故通项公式
，

即
.……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，设
的公比为
，则
，从而
，

故
的前
项和
.……………………………………12分

由
得：

，所以月平均用电量的中位数是224.

（Ⅲ）月平均用电量为
的用户有
户，月平均用电量为
的用户有
户，月平均用电量为
的用户有
户，月平均用电量为
的用户有
户，抽取比例
，

所以月平均用电量在
的用户中应抽取
户.……………………12分

19.解：证明：（1）

∵
是
的直径，点
是
上的动点，

∴
，即
.…………………………1分

又∵
垂直于
所在平面，
平面

∴
.……………………………………2分

∴

∴
平面
.……………………………………4分

又
平面
，

∴平面
平面
.…………………………6分

（2）由⑴的结论平面
平面
，平面
平面
，

∴过
点作
的垂线，垂足为
，………………………………8分

在
中，
，∴
，…………………………9分

由
，

∴
,

∴
点到平面
的距离为
.…………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）直线
的方程为
或
，…………………………6分

（Ⅱ）设点
的坐标为
，直线
的方程分别设为：