2017届高三数学练习（文科）

一、选择题

1. 已知集合
，
，则
= B

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数 z 满足
，则
（ ）A

A．
B．
C．
D． 2

3. 已知命题
：
，总有
，则
为　　B

A.
，使得
B.
，使得

C.
，总有
D.
，总有

4. 执行如图所示的程序框图，输出的k值是 B

A. 4 B. 5 C. 6 D.7

5. 若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，

那么概率是
的事件是 C

A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市

C.至多选一个海滨城市 D.两个都选海滨城市

6. 函数y=4cosx-e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是 A

A B C D

7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 B

A．
B．
C．
D．

8.已知实数
满足
，则
的最大值是 B

A．
B．9 C．2 D．11

9. 设函数
，
，若
在区间
上单调，且

，则
的最小正周期为 D

A．
B．2π C．4π D．π

10. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的(　　)C

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

11．双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，
，线段F1N交双曲线C于点Q，且
，则双曲线C的离心率为 D

A．2

B．

C．

D．





12．已知变量a,b满足b=－
a2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+
上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为 C

A. 9

B.

C.

D.3





二、填空题

13. 已知向量
=（1，
），
=（3, m），且向量
与
夹角为
,则m= 0

14. 设函数
，且f（x）为奇函数，则g（
）= 2

15. 若f(x)=
上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1）

16．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c= ．5

三、解答题

17. (本小题满分12分)

已知数列{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}是b1=1的等比数列，且
．

（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令cn= an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．

当n=1时，a1b2+b2=b1． ∵b1=1，b2=
， ∴a1=2，

又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an=3n-1，…………………………3分

∴
． 即
．

即数列{bn}是以1为首项，以
为公比的等比数列， ∴bn=
，…………………………6分

（Ⅱ）cn= an bn=（3n-1）

∴Tn=2×
+5×
+8×
+……+（3n-1）
①

Tn= 2×
+5×
+8×
+……+（3n-1）
② …………………………9分

① - ②：
Tn=2 +3×
+3×
+……+3×
-（3n-1）

=2 + 3×
-（3n-1）

∴Tn=
-
（6n+7）31-n …………………………12分

18. (本小题满分12分)

某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；

（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．

（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．

所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（3分）

（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，

设成绩为x、y（5分）

成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，（6分）

若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，（7分）

若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，（8分）

若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有

共有6种情况，所以基本事件总数为10种，（9分）

事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种（10分）

∴
．（12分）

19、（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，面
为矩形，
为
的中点，
与
交于点
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求四面体AA1BC的体积.

（Ⅰ）证明：由已知得，
, ∴Rt△BAD∽Rt△ABB1

∴∠BDA=∠B1AB, ∴∠ABD+∠B1AB=∠ABD+∠BDA=90o

∴在△AOB中，∠AOB=180o -(∠ABO+∠OAB ) =90o,即BD⊥AB1 …………………………4分

另BC⊥AB1，BD∩BC=B，∴AB1⊥平面BCD，CD
平面BCD,

∴CD⊥AB1 …………………………6分

(Ⅱ) 在Rt△ABD中，AB=1，AD=
∴AO=

在Rt△AOB中, 得BO=
,

在△BOC中，BO2+CO2=BC2 ，∴△BOC为直角三角形，…………………………8分

∴CO⊥BO， 由（1）易知，平面BCD⊥平面AA1B1B，平面BCD∩平面AA1B1B=BD

∴CO⊥平面AA1B1B，…………………………10分

∴四面体AA1BC的体积V=
S△AA1B
OC=



1



=
……………………12分

20. （本题满分12分）

如图，已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点．线段
的垂直平分线和半径
相交于
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知
是轨迹
的三个动点，点
在一象限，
与
关于原点对称，且
，问△
的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线
的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）
在线段
的垂直平分线上，所以
；

得
，

又
，得
的轨迹是以
为焦点，长轴长为4的椭圆.

. ……………………4分

（Ⅱ）由点
在一象限，
与
关于原点对称，设

，
在
的垂直平分线上，
.

，

， 同理可得
，……………6分

……………………8分

，当且仅当
时取等号，

所以
， ………………………………………………………………………11分

当
时
. …………………………………12分

21. (本小题满分12分)

设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e2只有一个零点，求实数a的取值范围

解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2 lnx，a∈R．

∴ f′（x）=2（x﹣a）lnx+
=（x﹣a）（2lnx+1﹣
），…………………………2分

由x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．

经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e或a=3e；…………………………4分

（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，

即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．

易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设
，

①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；…………………6分

②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，

∴?x0∈（a，1），h（x0）=0，

当0＜x＜a时，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣
）>o

∴f（x）在（0，a）上是单调递增，

同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

又极大值f（a）=0，所以曲线f（x） 满足题意；…………………………8分

③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，

∴?x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，

可得f（x）在（0，x0）上单调增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增…………10分

又f（a）=0，若要函数f（x）满足题意，只需f（x0）<4e2，即（x0-a）2lnx0<4e2

∴x02ln3x01，知g（x）=x2ln3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增，

由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，

所以1＜a＜3e；

综上知，a∈（－∞，3e）…………………………12分

选考题

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若r = 3m，求
的值。

（Ⅰ）证明：作
交
于点
，作
交
于点
.

因为
，
，

所以
.

从而

.

故
…………5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
.

因为

所以
.

又因为
，所以
． …………….10分

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是
（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）射线OM：θ = α（其中
）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求
的最大值。

解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程分别是
.

圆
的普通方程分别是
，

所以圆
的极坐标方程分别是
. ··············5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
，

从而
.

同理，
.

所以

，

故当
时，
的值最大，该最大值是
. ···············…10分

24. （本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知不等式|x+3|<2x+1的解集为{x|x>m}.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+
|=m(t≠0)有实数根，求实数t的值.

解：（Ⅰ）由|x?3|?2x?1得，

或
，

解得x?2，依题意m?2．················································· 5分

（Ⅱ）因为m=|x?t|?|x?
|≥|x?t?(x+
)|?|t?
|?|t|?
，

当且仅当（x-t）（x+
）≤0时，等号成立

∵m=2， ∴|t|?
≤2，

另一方面，|t|?
≥2，当且仅当|t|=
时，等号成立，

∴只有|t|=
即t=±1. ·················································· 10分

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