河南省八市重点高中2017届高三10月质量检测

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.
为虚数单位，则
（ ）

A．
B． -1 C．
D．1

3.已知
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4.执行如图所示的程序框图，如果输入的
是5，那么输出的
是（ ）

A． 120 B．720 C. 1440 D．5040

5.如图，在长方体
中，
，
，则
与平面
所成的角的正弦值为（ ）

A．
B．
C.
D．

6.如果函数
的图象关于点
成中心对称，那么
的最小值为（ ）

A．
B．
C.
D．

7.已知数列
满足
，则
（ ）

A．
B．
C.
D．

8.已知关于
的函数
，若点
是区域
内的随机点，则函数
在
上有零点的概率为（ ）

A．
B．
C.
D．

9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；在以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 532 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）

A． 0.35 B． 0.25 C. 0.30 D．0.20

10.已知斜率为3的直线
与双曲线

交于
两点，若点
是
的中点，则双曲线
的离心率等于（ ）

A．
B．
C. 2 D．

11.若
，则在
中，正数的个数是（ ）

A． 143 B． 286 C. 1731 D．2000

12.定义在
上的函数
满足
，
，
，且当
时，有
，则
（ ）

A．
B．
C.
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量
与
的夹角为
，且
，
，则
．

14.
的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

15.已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
．

16.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.
的面积是30，内角
所对边长分别为
，
.

（1）求
；

（2）若
，求
的值.

18.如图，矩形
和梯形
所在平面互相垂直，
，
，
，
.

（1）求证：
平面
；

（2）当
的长为何值时，二面角
的大小为
.

19.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择10月1日至10月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设
是此人停留期间空气质量优良的天数，求
的分布列和数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

20.已知椭圆

的两个焦点分别为
，点
与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆
相交于
两点，设点
，记直线
的斜率分别为
，求证：
为定值.

21.已知函数
，
.

（1）若
，求函数
在点
处的切线方程；

（2）若
恰有一个解，求
的值；

（3）若
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知圆
和圆
相交于
两点，过
点圆
的切线交于圆
于点
，连接
并延长交圆
于点
，直线
交圆
于点
.

（1）当点
与点
不重合时，（如图1），证明：
；

（2）当点
与点
重合时，（如图2），若
，求圆
的直径长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
过点
，斜率为
，直线
和抛物线
相交于
两点，设线段
的中点为
，求：（1）点
的坐标；

（2）线段
的长
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，其中实数
.

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集为
，求
.

试卷答案

一、选择题

CCCAD DBBCA CC

二、填空题

13、
； 14、1820； 15、
； 16、
。

三、解答题

17、解析：由
，得
。

又
，所以
。 4分

又因为
，所以
。 12分

18、

（1）证明：过点
作
交
于
，连结
，

可得四边形
为矩形，又
为矩形，

所以
，从而四边形
为平行四边形，

故
．因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．

（2）解：过点
作
交
的延长线于
，连结
．

由平面
平面