新乡市2017届高三上学期第一次调研测试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知复数
，则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在
克内的频率为（ ）

A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3

4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.函数
的零点必落在区间（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知各项均不为0的等差数列
满足
，数列
为等比数列，且
，则
（ ）

A．25 B．16 C．8 D．4

7.已知变量
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.执行下面的程序框图，则输出结果
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知函数
的部分图象如图所示，则把函数
的图像向左平移
后得到的函数图象的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
，过双曲线
的右焦点，且倾斜角为
的直线
与双曲线
交地
两点，
是坐标原点，若
，则双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知数列
满足
，则
所有可能的值构成的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量
，若
间的夹角为
，则
____________．

14.经过抛物线
的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．　

15.已知一个圆锥内接于球
（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径
，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．　

16.由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，已知
．　

（1）求
；

（2）若
，求
面积的最大值．

18.（本小题满分12分）

如图①所示，四边形
为等腰梯形，
，且
于点
为
的中点．将
沿着
折起至
的位置，得到如图②所示的四棱锥
.

（1）求证：
平面
；

（2）若平面
平面
，求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分12分）

甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为
，乙每关通过的概率为
，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．

（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；

（2）设
表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量
的分布列和数学期望
．

20.（本小题满分12分）

设
为坐标原点，已知椭圆
的离心率为
，抛物线
的准线方程为
．

（1）求椭圆
和抛物线
的方程；

（2）设过定点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，若
在以
为直径的圆的外部，求直线
的斜率
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的极值；

（2）设
，比较
与1的大小关系，并说明理由．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知四边形
是圆
的内接四边形，
是圆
上的动点，
与
交于
，圆
的切线
与线段
的延长线交于
．

（1）证明：
是
的平分线；

（2）若
过圆心，
，求
的长．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
的参数方程为
，（
为参数），曲线
的普通方程为
，点
的极坐标为
．

（1）求直线
的普通方程和曲线
的极坐标方程；

（2）若将直线
向右平移2个单位得到直线
，设
与
相交于
两点，求
的面积．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）求不等式
的解集；

（2）若实数
，且
的最小值为
，求
的最小值，并指出此时
的值．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

D

C

C

B

D

A

A

A

C

D



二、填空题

13.
14.3 15.
16. 42

三、解答题

17.解：（1）原式化为
，解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分

18.解：（1）取
的中点
，连接
．

∵
为
的中点，

∴
，且
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵图①中四边形
为等腰梯形，
，且
，

∴
，

∴
，

∴四边形
为平行四边形，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∵
平面
平面
，

∴
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）易证
两两垂直，故以点
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，

∴
，

所以
，设平面
的法向量为
．

则
令
，得
，．．．．．．．．．．．10分

显然
为平面
的一个法向量，

所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．11分

由图知平面
与平面
所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为
．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错．

故其概率为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）根据题意，
，

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

；

；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

随机变量
的分布列为

0

2000

4000

6000















所以
（元）（写成
也对）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）由题意得
，∴
，故抛物线
的方程为
，又
，∴
，∴
，从而椭圆
的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）显然直线
不满足题设条件，可设直线
．

由
，得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∵
，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．9分

，

根据题意，得
，∴
．．．．．．．11分

∴
，综上得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解：（1）依题意
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

①若
，则
在
上恒成立，函数
无极值；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

②若
，则
，此时
，

令
，解得
，令
，解得
，

故函数
的单调增区间为
，单调减区间为
，

故函数
的极大值为
，无极小值.

综上所述，当
时，函数
无极值；当
时，函数
有极大值
，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．