恩施州建始县第一中学2017届高三年级上学期9月月考

数学（文科）试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A＝B＝
，从A到B的映射
，

则在映射
下B中的元素（1，1）对应的A中元素为（ ）。

A.（1，3） B.（1，1） C .
D.

2．在区间
上随机取一个数
，
的值介于0到
之间的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．设函数
，则
有（ ）

A、分别位于区间（1，2）、（2，3）、（3，4）内的三个根

B、四个根

C、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）、（3，4）内的四个根

D、分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）内的三个根

4．已知全集U＝R，集合A＝
，集合B＝
则如图所示的阴影部分表示的集合是(　　)．

A.
B.

C.
D.

5．为得到函数y＝cos
的图像，只需要将函数y＝sin 2x的图像(　　)

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6．若关于
的不等式x2-3x-2-a >0在1

A．a<-4 B．a>-4 C．a>2 D．a<2

7．已知全集为R，集合A＝
，B＝
，则A∩?RB等于(　　)．

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2，或x>4}

D．{x|0

8．已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．不等式
的解集为

（A）
（B）
（C）
（D）

10．设函数
（ ）

A．在区间
上是增函数 B．在区间
上是减函数

C．在区间
上是增函数 D．在区间
上是减函数

11．若实数
、
满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．命题
函数
的单调增区间是
，命题
函数
的值域为
，下列命题是真命题的为（ ）

A．
B .
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．在等差数列
中，已知
，那么它的前8项和
等于_________

14． 圆
关于直线
对称的圆的方程是　　　__　

15．已知函数

，若函数
图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为
，则
的值为 ．

16．

三、解答题（70分）

17．(本题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

(1)写出υ关于ω的函数关系式；(2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(3)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率 =
×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

18． (本小题满分14分)

某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？

19．（（本小题满分12分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短半轴长为1，动点

在直线
上。

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

20．（本题10分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
、
分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆
的右准线上的点
，满足线段
的中垂线过点
．直线
：
为动直线，且直线
与椭圆
交于不同的两点
、
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若在椭圆
上存在点
，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围；

（3）在（Ⅱ）的条件下，当
取何值时，
的面积最大，并求出这个最大值．

22．（本题10分）已知向量
设函数
；

(1)写出函数
的单调递增区间；

(2)若x
求函数
的最值及对应的x的值；

(3)若不等式
在x
恒成立，求实数m的取值范围

答案

1．C

【解析】本题考查映射的概念，对应关系的含义及解方程组.

在映射
下
中的元素（1，1）对应的A中元素为
则按照对应法则

，
中与
对应的元素为
所以应有
，解方程组得
故选C

2．B

【解析】略

3．A

【解析】解：因为根据零点的概念可知，设函数
，则
，则分别位于区间（1，2）、（2，3）、（3，4）内的三个根

选A

4．A

【解析】A＝
，B＝
，图中阴影部分为集合A∩(?UB)．因为?UB＝
，所以A∩(?UB)＝

5．A

【解析】因为y＝sin 2x＝cos
＝cos
＝cos
，y＝cos
＝cos 2
，所以应向左平移
个单位．

6．D

【解析】本题主要考查的是不等式的有解问题。由条件可知，要使原不等式在（1,4）上有解，只需使
的最大值
，即
解得
，选D。

7．C

【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}．∴A∩?RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4，或x<2}

＝{x|0≤x<2，或x>4}．

8．C

【解析】

试题分析：由已知的三视图可知原几何体是上方是三棱锥,下方是半球,

∴
，故选C.

考点：1.三视图；2.几何体的体积.

9．A

【解析】略

10．A

【解析】

先分析
，函数的周期为
，单调递增区间
，单调递减区间
，所以函数
的周期为
，单调递增区间
，单调递减区间
，显然A选择正确。

题文中估计是将
误输入为

11．D

【解析】

试题分析：作不等式组
所表示的可行域如下图所示，联立
得
，即点
，作直线作直线
，则
为直线
在
轴上的截距，当直线
经过可行域上的点
时，直线
在
轴上的截距最大，此时
取最大值，即
，故选D.

考点：线性规划

12．B

【解析】本题考查函数的单调性,函数的值域,简单复合命题.

由
解得
则函数
的定义域为
设
则
函数
在
上是减函数，在
上是增函数；函数
是增函数，则函数
的单调增区间是
， 则命题
是假命题；因为
所以
所以函数
的值域为
；则命题
是真命题；故选B

13．48

【解析】解：因为等差数列
中，已知
，而
=4（
）=48

14．

【解析】略

15．

【解析】略

16．

【解析】

17．(Ⅰ) v =6000ω2 (Ⅱ) 37.5％．（Ⅲ）重量比为1∶1

【解析】(1)依题意设v=kω2，……2分

又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…3分 故v =6000ω2．……4分

(2)设这颗钻石的重量为a克拉，由(1)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为

6000(
a)2+6000(
a)2． 6分 价值损失为6000a
一[6000(
a)2+6000(
a)2]．…7分

价值损失的百分率为

答：价值损失的百分率为37.5％．…8分

(3)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为

，…10分又
，…11分

等号当且仅当m=n时成立.即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大．… 12分

18．解：设每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，

由题意得

目标函数为z＝700x＋1200y.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：

目标函数可变形为y＝－x＋，

∵－＜－＜－，

∴当y＝x＋通过图中的点A时，最大，z最大．解得点A坐标为(20,24)．

将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y

得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．

答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．

【解析】略

19．1）又由点M在准线上，得

故
，
从而
所以椭圆方程为

（2）以OM为直径的圆的方程为
即

其圆心为
,半径

因为以OM为直径的圆被直线
截得的弦长为2

所以圆心到直线
的距离

所以
，解得
所求圆的方程为

（3）方法一：由平几知：

直线OM：
，直线FN：
由
得

所以线段ON的长为定值
。

方法二、设
，则

又

所以，
为定值

【解析】略

20．（1）点F应是线段CE的中点（2）
（3）

【解析】

试题分析：解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），

B（2，0，1），
，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为
，

∴
，取平面ACD的法向量
，

则
，∴BF∥平面ACD；

（2）设平面BCE的法向量为
，则
，且
，

由
，
，

∴
，不妨设
，则
，即
，

∴所求角θ满足
，∴
；

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴
，

由（2）平面BCE的法向量为
，∴所求距离
．

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥=
，

∴FH∥=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，

由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；

（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，

设所求的二面角的大小为θ，则
，

易求得BC=BE=
，CE=
，∴
，

而
，∴
，而
，∴
；

（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，设G点到平面BCE的距离为h，则VC﹣BGE=VG﹣BCE即
，由
，
，
，

∴
即为点G到平面BCE的距离．

考点：空间几何体线面平行的判定二面角点面距的计算

点评：当已知条件中出现了从同一点出发的三线两两垂直或可以平移为三线两两垂直时，常利用空间向量求解，只需写出各点坐标代入相应公式即可

21．

（1）

（2）

（3）当
时，
的面积最大，最大值为

【解析】解：（1）设椭圆
的方程为
，半焦距为
，依题意有

解得
　　　　
．

所求