当阳市第一中学2017届高三年级上学期10月月考

数学（理科）检测题

★祝考试顺利★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．已知复数
，其中
为虚数单位，则复数
的共轭复数
所对应的点在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2．对于方程
的解，下列判断不正确的是 （ ）

A.
时，无解 B.
时，2个解

C.

时，4个解 D.

时，无解

3．在
的面积等于

A．
B．
C．
D．

4．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P （如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度等于（ ）

A．2 B．1 C．
D．

5．已知x，y，a，b
（ ）

A、
B、
C、
D、a+b

6．己知集合
，则
（　　）.

(A)
(B)
　　　　 (C)
(D)

7．若
的解集是
，则
的解集为（ ）

A、
B、

C、
D.

8．已知
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．将奇函数
的图象向左平移
个单位得到的图象关于原点对称，则
的值可以为

A．
B．
C．
D．

10．已知如图所示的三棱锥
的四个顶点均在球
的球面上，
和
所在的平面互相垂直，
，
，
，则球
的表面积为



A．
B．
C．
D．

11．直线
与
平行，则
的值为( )

A．
B．
或
C．0 D．－2或0

12．设
∶
，
∶
，则
是
的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第II卷（非选择题）

填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．如图是一个算法的程序框图，当输入
时，输出y的结果是 。

14．已知向量
⊥
，|
|=3，则
?
= ．

15．已知集合
，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有 个.

16．在等差数列
中，已知
，
，则第3项
．

解答题（70分）

17．（本题12分）已知关于
的一元二次函数
．

（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为
和
，求函数
在区间
上是增函数的概率；

（2）设点
是区域
内的随机点，求函数
上是增函数的概率．

18．（本题满分12分） 已知圆
的圆心
在
轴上，半径为1，直线
，被圆
所截的弦长为
，且圆心
在直线
的下方．

（I）求圆
的方程；

（II）设
，若圆
是
的内切圆，求△
的面积

的最大值和最小值.

19．（本题12分）长方形
中，
，
．以
的中点
为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系。

(1) 求以
、
为焦点，且过
、
两点的椭圆的标准方程；

(2) 过点
的直线
交(1)中椭圆于
两点，是否存在直线
，使得以线段
为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

20．（本题12分）如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别在线段
，
上，
，
，
是
的中点．

（1）证明：
//平面
；

（2）若二面角
的大小为
，求
的正切值．

21．（本题12分）已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
2≥6
，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

22．（本题10分）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2经过椭圆Γ∶
（a>b>0）的右焦点F和上顶点B.

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求
的最大值．

答案

选择：1_5 DCADA 6_10 BCDBC 11_12 BB

13．2 14．9 15．3 16．5．

17．（1）
；（2）
．

解：（1）∵函数
的图象的对称轴为

要使
在区间
上为增函数，当且仅当
>0且
，

若
=1则
=－1；若
=2则
=－1，1；若
=3则
=－1，1；

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，

∴所求事件的概率为
．

（2）由（1）知当且仅当
且
>0时，函数
在区间
上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．

由

∴所求事件的概率为
．

18．（I）
,即圆
.

（II）S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2 ，S(min)=6(1+ 1/8)=27/4

解：
,即
.设圆心
，弦长的一半为
，半径
，

故
到直线
的距离
，又
，所以
，解得
或
，即
.又因为
在
下方，所以
,即圆
.

（II）设直线AC、BC的斜率分别为
，易知
，即
，则

直线AC的方程为
，直线BC的方程为
，联立解得点C横坐标为
，

因为
，所以△ABC的面积
.

∵AC、BC与圆M相切, ∴圆心M到AC的距离
，解得
，

圆心M到BC的距离
，解得
.

所以
，

∵-5≤t≤-2 ∴-2≤t+3≤1 ∴0≤(t+3)2≤4

∴-8≤t2+6t+1＝ (t+3)2-8≤-4 ∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2

S(min)=6(1+ 1/8)=27/4

19．(1)
；(2) 存在过
的直线
:
，

20．（1）见解：（2）

解：（1）证明：取
的中点
，则
，所以
//
．

又
平面
，所以
//平面
．

又
是△
的中位线，所以
//
，

从而
//平面
．

所以平面
//平面
，

故
//平面
．

（2）解法1：由
平面
知，

由
知
，

故
平面
．

由（Ⅰ）知
//
，而
，故

．

所以
是二面角
的平面角，

即
．

设
，则
，
,

在
△
中，
．

所以
的正切值为
．

解法2：以
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设
，
，则
，
，

则
，

设
平面
的一个法向量，

则
即
取

不难得到平面
的一个法向量为
，

所以
，所以

在
△
中，

所以
的正切值为
．

21．

解：法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)
，①

≥3(abc)－
，②

所以
2≥9(abc)－
.

故a2＋b2＋c2＋
2≥3(abc)
＋9(abc)－
.

又3(abc)
＋9(abc)－
≥2
＝6
，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)
＝9(abc)－
时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3
时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理
≥
，②

故a2＋b2＋c2＋