松滋市第一中学2016-2017学年高三年级上学期第一次考试

数学（文科）试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．如果等差数列
中，
，那么
( )

A、14 B、21 C、28 D、35

2．设集合
=

A．{1，3} B．{2} C．{2，3} D．{3}

3．抛物线
上与焦点的距离等于8的点的横坐标是 （ 　 ）

　　 A、2　　　　B、3　　　　　C、4　　　　D、5

4．若实数
，
满足不等式组
则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知椭圆E：
＋
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）

A．
＋
＝1 B．
＋
＝1 C．
＋
＝1 D．
＋
＝1

6．已知
为等差数列，
，则
等于( )

A. -1 B. 1 C. 3 D. 7

7．在△
中，若
，则
（ ）．

A．
B．
C．
或
D．
或

8． 已知等差数列
中，
，
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知偶函数
在区间
上是增函数，下列不等式一定成立的是

A.
B.

C.
D.

10．不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知等差数列
满足
，
，则它的前10项的和
（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

12．已知平面区域
，向区域
内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。

14．若集合
，则集合
的真子集个数为 .

15．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为 .

16．设
，若非
是非
的充分不必要条件，那么
是

条件，
的取值范围是

三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)

17．（本小题满分12分）

已知定义域为
的函数
满足：①
时，
；②
③对任意的正实数
，都

有
．

（1）求证：
；

（2）求证：
在定义域内为减函数；

（3）求不等式
的解集．

18．（本题12分）

已知△ABC中，
，
， 求：角A、B、C的大小。

19．已知定义在
上的函数
(其中
).

(I)求
的值；

(II)解关于
的不等式
.

20．（本题12分）（本小题满分12分）

如图2，在直三棱柱ABC-
中，AB=1，
，
．



（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值．

21．（本题12分）
求证：

（I）
；

（Ⅱ）函数
在区间（0，2）内至少有一个零点；

（III）设
是函数
的两个零点，则

22．（本题10分）己知a∈R，函数

(1)若a=1，求曲线
在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)若|a|>1，求
在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：∵
，∴
，∴

，故选C

考点：本题考查了等差数列的性质

点评：熟练掌握等差数列的性质是解决此类问题的关键，属基础题

2．A

【解析】

试题分析：因为
，所以
，所以
{1，3}。

考点：集合的运算。

点评：本题直接考查集合的运算，属于基础题型。

3．D

【解析】：∵抛物线方程是y2=12x，

∴2p=12，可得
=3，所以抛物线焦点为F（3，0），

设抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点为P（m，n）

则

，解之得

所以点P（5，2
）或P（5，-2
），横坐标为5

故选D

4．A

【解析】当直线
经过直线y=x+2与直线y+x=1的交点
时，

Z取得最小值，最小值为
.

5．D

【解析】

试题分析：由题意
，设
，代入椭圆中得，
，两式相减得
，即
，所以得
，又
，得
，故选D.

考点：1.椭圆中
的关系； 2.点差法的应用.

6．B

【解析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．

解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4-a3=-2．∴a20=a3+17d=35+（-2）×17=1．故选B

7．C．

【解析】

考点：正弦定理的应用．

分析：通过正弦定理求与题设的条件求出sinB的值，进而求出B．

解：∵
a=2bsinA

∴
=

∵根据正弦定理
=

∴
=

∴sinB=

∴B=
或

故选C

8．A

【解析】
故选A

9．C

【解析】略

10．A

【解析】

试题分析：一元二次不等式解法，依据“大两边，小中间”解决.先十字相乘因式分解
因为“小中间”所以解集为
故答案为A

考 点: 一元二次不等式

【答案】C

【解析】先利用等差中项求
，然后结合求和公式
。

12．C

【解析】此题考查几何概型概率的计算及线性规划

解：如图画出平面区域
为图中
,平面区域
为图中
,由图知A（1,2），B（-1,0），C（1,0），D（0,1），

，由几何概型概率的计算公式得点P落在区域M内的概率为P=
.

答案：C.

13．

【解析】

试题分析：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是在区间[-1，1]上任取两个数a和b，事件对应的集合是Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}，对应的面积是sΩ=4，满足条件的事件是a+b≤1，事件对应的集合是A={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1，a+b≤1}，对应的图形的面积是sA=
∴根据等可能事件的概率得到P=
故答案为：

考点：几何概型

点评：本题考查等可能事件的概率，是一个几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到结果，是一个基础题

14．1

【解析】略

15．

【解析】

考点：不等关系与不等式．

分析：根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为
的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是
，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即
＜
．

解：∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为
，

∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是
，

又∵糖水会更甜，

∴
＜

故答案为：
＜

16． 充分不必要，

【解析】由非
是非
的充分不必要条件可知，
是
的充分不必要条件。由题意得
对应的平面区域应包含于
对应的平面区域，即
表示的区域内的所有的点在圆
外,结合图形可知
的取值范围是

17．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
.

【解析】

试题分析：

（1）令
，即可求得
，令
，即可证得

（2）利用单调性的定义即可证明；

（3）根据（2）可求得
，从而可得
，再利用
在定义域内为减函数，即可求得其解集.

试题解析：

（1）因为对任意
，都有
，

所以令
，则
，即

再令
，则
，所以
，即
；

（2）设
，且
，则
，所以

又

所以
，即
，

所以
在
上是减函数；

（3）由
，得
，又
，所以

所以不等式
为
，

即
，亦即

因为
是
上的减函数，

所以
，解得
，

所以不等式
的解集为
.

考点：抽象函数及其应用；函数单调性的证明及性质.

18．
,
,

【解析】

得

∴
∵
∴
又0

则
, 即

由
得

即
亦即

∴
得
, 从而
′

则所求的角
,
,
.

19．解：(I)
；

(II)由(I)知方程
的两根为
，
，从而
，

而
，
等价于
，于是

当
时，
，原不等式的解集为
；

当
时，
，原不等式的解集为
；

当
时，
，原不等式的解集为
.

【解析】略

20．解：（Ⅰ）在△ABC中，
，
，

∴ AB⊥AC，又AA
⊥AB，则AB⊥平面AA
C

∵A
C在平面ABC内的射影为AC，∴AB⊥A
C ……………6分

（Ⅱ）取
中点D，连AD，BD ∵AA
= AC =

∴
，且
，

由三垂线定理得 BD⊥A
C

∴
为二面角
的平面角．

∴
，∴

∴二面角
的正弦值为
． ……………12分

【解析】略

21．见解析

【解析】解：（I）由
得
---------------⑴

由
得
，将(1)代入得:

,两式相加得:
,即
.

,故
;

（Ⅱ）由⑴有
,

,

,
,即
,

函数
在区间（0，2）内至少有一个零点.

22．(1)
(2) 当
时,函数
最小值是
;当
时,函数
最小值是
.

【解析】

试题分析：(1)由导数的几何意义可知，曲线