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文科数学试题(附中版)－(这是边文，请据需要手工删加)

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(一)

数　学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)已知全集U＝R，N＝，M＝，则图中阴影部分表示的集合是(C)

(A) (B)

(C) (D)

(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在(B)

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(3)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为(A)

(A)1 (B)－1 (C) (D)－2

(4)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(D)

(A)y＝±2x (B)y＝± x (C)y＝±x (D)y＝±x

(5)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝(B)

(A)2 (B) (C) (D)a2

(6)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(B)

(A)－4 (B)－3 (C)－2 (D)－1

(7)下列函数的最小正周期为π的是(A)

(A)y＝cos2x (B)y＝ (C)y＝sin x (D)y＝tan

(8)一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是(A)

(A)＋2 (B)＋ (C)π＋2 (D)＋

【解析】该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为×π×12×2＋×2××2＝＋2，故选A.

(9)已知数列中，a1＝1，an＋1＝an＋n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是(D)

(A)n<6? (B)n<7? (C)n≤8? (D)n≤9?

【解析】第一次循环：1≤m成立，S＝a2，n＝2，依次类推，第九次循环：9≤m成立，S＝a10，n＝10，第十次循环：10≤m不成立，输出第10项，因此9 ≤m<10，选D.

(10)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(D)

(A)4 (B) (C) (D)

【解析】由不等式组作出可行域如图，由a>0，b>0，

可知当直线z＝ax＋by经过点P(4，6)时，z取得最大值，

由已知得4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，

故＋的最小值为.

(11)如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(C)

(A) (B) (C) (D)2

【解析】设抛物线C：y2＝4x的准线为l：x＝－1，焦点为F.

直线y＝k(x＋1)(k＞0)恒过定点P(－1，0)，

由|AM|＝2|BN|知点B为AP的中点，连接OB，则|FA|＝2|OB|，

又由|AM|＝2|BN|得|FA|＝2|FB|，

∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为，

∴点B的坐标为B，

把B代入直线l：y＝k(x＋1)(k＞0)，解得k＝.

(12)已知函数f＝(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＞－x·f′(x)，则实数b的取值范围是(C)

(A) (B) (C) (D)

【解析】f＋xf′>0?>0，设g＝xf＝ln x＋，

若存在x∈，使得f＋xf′>0，

则函数g在区间上存在子区间使得g′>0成立，

g′＝＋2＝，设h＝2x2－2bx＋1，

则h>0或h>0，即8－4b＋1>0或－b＋1>0，得b<，故选C.

选择题答题卡

题　号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)



答　案

C

B

A

D

B

B

A

A

D

D

C

C



第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

(13)在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是____．

(14)给出下列不等式：

1＋＋>1，

1＋＋＋…＋>，

1＋＋＋…＋>2，

…

则按此规律可猜想第n个不等式为__1＋＋＋＋…＋>__．

(15)已知函数f＝，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f＝b有三个不同的零点，则m的取值范围是__m>3__．

【解析】函数y＝为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m的对称轴为x＝m，且向右单调递增．故当x≤m时函数f先减后增，当x>m时函数f单调递增，要f＝b有三个不同的零点，则必须满足m>m2－2m2＋4m，解得m>3.

(16)某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE＝1米，则烟囱高AB＝__20＋1__米．

【解析】∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°，在△CBD中，根据正弦定理得BC＝＝20，∴AB＝1＋tan 30°·BC＝1＋20(米)，故答案为：20＋1.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本题满分12分)

在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知(2a－c)cos B＝bcos C.

(Ⅰ)求角B的值；

(Ⅱ)设函数f(x)＝sin＋2cos2(其中ω＞0为常数)，若x＝是f(x)的一个极值点，求ω的最小值．

【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，有(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，(1分)

所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即2sin Acos B＝sin(B＋C)．(3分)

因为sin(B＋C)＝sin A≠0，所以2cos B＝1，即cos B＝.(5分)

因为B∈(0，π)，所以B＝.(6分)

(Ⅱ)由题设，f(x)＝sin＋2cos2＝sin ωx＋cos ωx＋1＋cos ωx

＝sin ωx＋cos ωx＋1＝sin＋1.(10分)

因为x＝是f(x)的一个极值点，ω＞0，则＋＝kπ＋，即ω＝12k＋2(k∈N)．

故ω的最小值为2.(12分)

(18)(本题满分12分)

已知数列{an}满足：a1＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn.若对一切n∈N*，都有Sn＜M成立(M为正整数)，求M的最小值．

【解析】(Ⅰ)因为a1＋＋…＋＝2n－1，则a1＋＋…＋＝2n－1－1(n≥2)．(2分)

两式相减，得＝2n－1，即an＝n·2n－1(n≥2)．(3分)

由已知，a1＝2－1＝1满足上式．(4分)

故数列{an}的通项公式是an＝n·2n－1.(5分)

(Ⅱ)由题设，bn＝＝.(6分)

则Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋.(8分)

两式相减，得Sn＝1＋1＋＋…＋－＝3－－＝3－. (10分)

所以Sn＝6－.(11分)

显然，Sn<6，又S5＝6－>5，所以M≥6，故M的最小值为6.(12分)

(19)(本题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝，△ADP为等边三角形．

(Ⅰ)求证：AD⊥PB；

(Ⅱ)若AB＝2，BP＝，求点D到平面PBC的距离．

【解析】(Ⅰ)取AD的中点O，连接PO，OB，证明AD⊥平面PBO，从而得证．

(Ⅱ)∵AD//BC，∴PB⊥BC.

利用等体积变换，得VD－PBC＝VP－DBC，从而求出D到平面PBC的距离．

(Ⅰ)取AD的中点O，连接OP，OB.

∵△ADP为等边三角形，∴PO⊥AD，∵AB＝AD，∠DAB＝，

∴△ADB为等边三角形，∴BO⊥AD.

又PO∩OB＝O，∴AD⊥平面PBO.

又PB?平面PBO，∴AD⊥PB.(6分)

(Ⅱ)由条件知△ABD与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴OB＝OP＝.

又PB＝，则PB2＝OB2＋OP2，∴OP⊥OB.

又OB∩AD＝O，∴PO⊥平面ABD，

∵VD－PBC＝VP－DBC＝S△BDC·OP＝××2××＝1，

又AD∥BC，∴PB⊥BC，∴S△PBC＝××2＝，

设点D到平面PBC的距离为h，由S△PBC·h＝1，解得h＝.(12分)

(20)(本题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A在椭圆C上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．

【解析】(Ⅰ)由题意得＝，a2＝b2＋c2，

又点A在椭圆C上，∴＋＝1，解得a＝2，b＝1，c＝，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(5分)

(Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2＋y2＝5.

证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m.

由方程组得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

∵直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，

∴Δ1＝－4＝0，即m2＝4k2＋1.

由方程组得x2＋2kmx＋m2－r2＝0，

则Δ2＝－4>0.

设P1，P2，则x1＋x2＝，x1x2＝，

设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2＝＝＝

＝＝，

将m2＝4k2＋1代入上式，得k1k2＝.

要使得k1k2为定值，则＝，即r2＝5，代入Δ2验证知符合题意．

∴当圆的方程为x2＋y2＝5时，圆与l的交点