2017届高三娄底市五校10月份联考文科数学试题

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若复数
为纯虚数，则实数
的值为 （ ）

A．2 B．0 C．1 D．－1

2．已知全集为
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，
，
，则 （ ）

A．a> b> c B．b> c> a C．
D．c> b> a

4．已知点
，向量
，若
，则实数
的值为（　　）

A．
??? B．
C．2???? D．﹣2

5． “
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要

6．下列函数中既是奇函数又在区间[-1,1]上单调递减的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知正项等比数列
的前n项和为
，若
，则
（ ）

A.16 B.
C.
D. 32

8．三棱锥
及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱
的长为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．设变量
满足：
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
，再将图象向左平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知等差数列
的前
项和为
，若
，且
、
、
三点共线(该直线不过点
)，则
等于 ( )

A.26 B.52 C.-26 D.-52

12．设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知函数
则
．

14．已知两个单位向量
的夹角为
，则
的夹角为 ．

15．已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为__________．

16．已知
，
，则
的最小值为 .

三、解答题（共6个小题，共70分）

17．（本小题12分）在
中，内角
所对应的边分别为
，

已知
．

（1）求
；

（2）求
的取值范围。

18．（本小题12分）已知数列
的前n项和为
，若
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和
．

19．（本小题12分）如图，直三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，
分别是边
的中点。

（１）证明：平面
平面
；

（２）若直线
与平面
所成的角为
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题12分）如图，已知抛物线
：
，过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点，且与其准线交于点
．

（1）若线段
的长为5，求直线
的方程；

（2）在
上是否存在点
，使得对任意直线
，直线
，
，
的斜率始终成等差数列，若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由.

21．（本小题12分）已知函数
，
，
．

（1）求函数
的极值；

（2）若
在
上为单调函数，求
的取值范围；

（3）设
，若在
上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

选做题（在22题和23题中任选一个做，本小题10分）

22．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，（
为参数）．

（1）求
的直角坐标方程；

（2）当
与
有两个公共点时，求实数
取值范围．

23．选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）若对任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

文数参考答案

一、1-12：CACBC BCCDA CD

二、填空题：13.
14．
15．
16． 3

三、解答题：

17：（1）
（2）
[:]

18：（1）
， （2）

19：（1）略, （2）
．

20解：（1）焦点
∵直线
的斜率不为
，所以设
，

，
由
得
，

，
，

，
，

∴
， ∴
． ∴
，

∵
，∴直线
的斜率
， ∴直线
的方程为
． ………6分

（Ⅱ）设存在点
，则
，

同理
，
，∵直线
，
，
的斜率始终成等差数列，

∴
恒成立，即
恒成立．

∴

，

把
，
代入上式，得
恒成立，
．

∴存在点
或
，使得对任意直线
，直线
，
，
的斜率始终

成等差数列． ………12分

21解：：(1)因为
.由
得
，

所以
为函数
的极小值点
………4分

（2）
，
.

因为
在
上为单调函数，所以
或

在
上恒成立

等价于
在
恒成立，
．

等价于
即
在
恒成立，而
．

综上，
的取值范围是
． ……… 8分

（3）构造函数
，

当
时，
，所以在
不存在
使得
成立.

当
时，

因为
，所以
在
恒成立，

故
在
单调递增，
，

所以只需
，解之得
，

故
的取值范围是
……… 12分

22：（Ⅰ）曲线
为直线，直角坐标方程为
.

（Ⅱ）
，曲线
与曲线
有两个公共点．

23：（１）

（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，

即有
的最大值为|a﹣3|．只需
，
。

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