珠海市2015-2016学年度第一学期高三期末考试

理科数学试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
满足
,则
的虚部为( ) A．
B．
C．
D．

2．
( ) A．
B．
C．
D．

3．设命题
:若
,则
,其逆否命题为( )

A．若
,则
B．若
,则
C．若
,则
D．若
,则

4．现有1000件产品,甲产品有10件,乙产品有20件,丙产品有970件,现随机不放回抽取3件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是( )

A．
B．
C．
D．

5．如图是函数
的一段图像，则函数
图像上的最高点坐标为( )

A．
B．

C．
D．

6．已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为( )

A．
B．
C．
D．

7．如图是一平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)
，
为
延长线上一点，
,则
( )

A．
B．

C．
D．

8．
展开式中，
项系数为( )

A．
B．
C．
D．

9．执行右图的程序框图，若输入
，则输出的
( )

A．6 B．7 C．8 D．9

10．点
为双曲线
上一点,
为
的虚轴顶

点，
，则
的范围是( )

A．
B．

C．
D．

11．如左上图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

12．函数
，若存在唯一一个整数
使
成立，则
的范围是( ) A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若函数
是偶函数，则
．

14．圆
的圆心
在
轴上，圆
经过抛物线
的焦点且与
相切，则
的半径是 ．

15．变量
满足
，则
的范围是 ．

16．如右下图，四边形
中，
，
，
，
，
，则线段
长度的取值范围是 ．

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

正项数列
的前
项和为
，满足

（1）求
的通项公式

（2）设
，求数列
的前
项和
.

18．（本小题满分12分）

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
，
，
，
，
五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有
以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为
。若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列，期望
和方差
.

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

60







捐款不超

过500元



10





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











附：临界值表

0.10

0.05

0.025





2.706

3.841

5.024



随机量变

19．（本小题满分12分）

如图，菱形
中，
，边长
，
平面
，


分别是边
中点，
与
交于
,
，

（1）求证：
；

（2）求二面角
的正弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
过点
，且一个焦点为
，直线
与椭圆
交于
两不同点，
为坐标原点，

（1）求椭圆
的方程；

（2）若
的面积为
，证明：
和
均为定值；

（3）在（2）的条件下，设线段
的中点为
，求
的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
.（1）求函数的单调区间；

（2）若方程
存在两个不同的实数解
、
，求证：
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形
边长为2，以
为圆心、
为半径的圆弧与以

为直径的半圆
交于点
，连结
并延长交
于点
.

（1）求证：点
为
的中点；

（2）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
过点
，其倾斜角为
，圆
的参数方程为
. 再以原点为极点，以
正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系
有相同的长度单位.

（1）求圆
的极坐标方程；

（2）设圆
与直线
交于点
、
，求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
，
，且
.

求
的最小值；

求
的最小值，并求出
、
相应的取值

参考答案

1－5：CCADD　6－10：ABBBC　11-12：CD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．1

14．
或

15．

16．

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：(1)由
…………①知
…………②

由②－①得
…………………………………1分

即

即
…………………………………………………………………………………3分

又
即

是4为首项，3为公差的等差数列……………………………………………………5分

……………………………………………………………………6分

(2)
故

………………8分

………………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

60

20

80



捐款不超

过500元

10

10

20



合计

70

30

100





…………………………2分

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











因为
，

所以有
以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．

……………………………………………………………………………………4分

（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.

由题意知
的取值可能有
，………………………………………………5分

，

，……………………………………6分

， ……………………………………7分

，……………………………………8分

，……………………………………9分























从而
的分布列为

………………………10

，……………………………………………11分

………………………………12分

19．（本小题满分12分）

(1)证明：连接
,

面
,

菱形
中，