第一节 相交线、对顶角

教学设计示例

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．

　　2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．

　　3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．

　　（二）能力训练点

　　1．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．

　　2．通过对顶角件质的推理过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．

　　（三）德育渗透点

　　从复杂图形分解为若干个基本图形的过程中，渗透化难为易的化归思想方法和方程思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过实例，培养和提高学生的审美能力和审美标准；通过相交线，使学生进一步体会几何图形的简单美、对称美．

　　二、学法引导

　　1．教师教法：教具直观演示法启发引导、尝试研讨．

　　2．学生学法：动手动脑、积极参与、认真研讨、学会概括．

　　三、重点、难点及解决办法

　　（一）重点

　　（二）难点

　　在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．

　　（三）疑点

　　对顶角、邻补角的图形识别．

　　（四）解决办法

　　强调图形的基本特征，指导学生逐步学会分解复杂图形、找出基本图形的方法．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、三角尺、自制复合胶片、木条制成的相交直线的模型．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过实例创设情境，引导学生进入课题．

　　2．通过演示实验和学生讨论、总结对顶角、邻补角两个概念．

　　3．通过学生研讨、练习巩固完成性质的讲解．

　　4．通过学生总结完成课堂小结．

　　5．通过随堂练习，检测学生学习情况．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　能在图形中正确辨认对顶角和邻补角，理解其概念，掌握其性质，并运用其进行推理计算．

　　（二）整体感知

　　通过对较复杂图形的认识和学习，逐步加深几何知识，培养学生逻辑思维能力和逻辑推理、表达能力．

　　（三）教学过程

　　创设情境，引入课题

　　投影打出本章的章前图（投影片1），然后引导学生观察，并回答问题．

　　学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．

　　教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．它们就是我们本章要研究的课题：

　　【板书】第二章  相交线、平行线

　　【教法说明】以立交桥为实例引出本章内容，目的是①通过实例，让学生了解相交线、平行线是我们日常生活中经常见到的；②通过画面，培养学生的空间想像能力；③通过画面，启发学生广泛地联想，让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的；④通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣．

　　学生活动：请学生举出现实空间里相交线、平行线的一些实例．

　　教师导入：相交线、平行线在日常生活中经常见到，有着广泛应用，所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，从而引入本节课题．

　　【板制】2.1 相交线、对顶角

　　探究新知，讲授新课

　　 教师演示：取两根木条a、b，用钉子将它们钉在一起，并且能随意张开．固定水条a，绕钉子转动b，可以看到，b的位置变化了，a、b所成的角a也随着变化．这说明两条直线相交的不同位置情况，与它们的交角大小有关．可以用它们所成的角来说明相对位置的各种情况．所以研究两条直线相交问题首先来研究两条直线相交得到的有公共顶点的四个角．这四个角都有一个公共顶点，其中有些有公共边，有些没有公共边，故我们把这些角分成两类：对顶角和邻补角．

　　 【教法说明】演示相交线的模型，目的是使学生领会研究相交线为什么要研究它们相交所成的角．

　　1．对顶角和邻补角的概念

　　学生活动：观察右图，同桌讨论if与Z3有什么特点，然后，举手回答，教师统一学生观点并板书．

　　【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．

　　学生活动：让学生找一找右图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？

　　学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．

　　紧扣对顶角定义强调以下两点：

　　（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．

　　（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．

　　反馈练习：投影显示（投影片2）

　　下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？（射线OA是活动的）

　　【教法说明】本组题目是巩固对顶角概念的，通过练习，使学生掌握在图形中辨认对顶角的要领，同时又用反例印证概念，使学生加深印象，最后一个图形为下面讲部补角做铺垫。

　　学生活动：观察图2－l，∠1和∠2与对顶角相比，有什么相同点和不同点，从而得出邻补角的定义．

　　【板书】∠l和∠2也是直线AB、CD相交得到的，它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角．

　　学生活动：让学生找一找图2－1中还有没有其他邻补角，如果有，是哪些角．

　　学生口答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是邻补角．

　　 【教法说明】把邻补角的概念与对顶角概念对比着讲解，便于掌握概念之间的联系与  区别，加深对概念的理解．

　　提出问题：如右图，∠1和∠2还是邻补角吗？为什么？

　　师：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，由此可知，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角．右图这样的邻补角在图形中也是常见的．在这种情况下，只存在一对邻补角，而不存在对顶角，与两条直线相交所得的角不同．

　　教师演示：图中射线OC固定在一个位置不动，把∠1和∠2拉开，并且保持角的大小不变，如右图（投影片3）．

　　 提出问题：∠l和∠2的和是多少度？∠l和∠2还是邻补角吗？为什么？

　　学生活动：观察图形的变换，回答教师提出的问题，同桌可相互讨论．

　　【教法说明】此问题意在区别互为补角和互为邻补角的概念，演示活动投影片，有助于学生抓住概念的本质，比教师单纯地强调效果更好．

　　2．对顶角的性质

　　提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？

　　学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．

　　【教法说明】学生说出对顶角∠l＝∠3后，启发学生再说出∠2＝∠4，然后得出对顶角相等的性质．在学生理解推理思路的基础上，板书为几何符号推理的格式．对顶角的性质不难得出，放手让学生展开讨论，充分发挥学生的主动性，在活跃课堂气氛的同时，培养学生的创造思维能力

　　【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），

　　∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．

　　注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．

　　或写成：∵∠1＝ 180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），

　　  ∴∠1＝∠3（等量代换）．

　　【教法说明】推得“对顶角相等”这个结论的过程，是课本中初次出现的一步推理，使学生了解推理可以写成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有根据，也就是括号里填的理由．这种推理的格式以后还要逐步渗透和训练，现在不要求自己会写推理过程，只要求学生能看明白就可以了，为以后证明打好基础。

　　尝试反馈，巩固练习

　　投影显示（投影片4）

　　【教法说明】本级统习是巩固对顶角和邻补角概念的，同时培养学生的识图能力．第1题是课本第59页练习第2题的变式，第2题是课本第59页练习第3题和“想一想”的综合．解决这类题目的关键是要善于从复杂图形中分离出基本图形．对顶角、邻补角的基本图形是两条直线相交，则三条直线相交的图形应分解为三个两条直线交于一点的图形．如：

　　为此，对顶角有 2×3＝6个，邻补角的对数为 4×3＝12个．第3、4题是有关的概念的综合训练，其中第4题意在区别互为补角和互为邻补角的概念．

　　投影显示（投影片5）

　　【教法说明】第1题是直接利用对顶角相等的性质得出，第2、3题是结合图形利用对顶角相等的性质，第4题是课本59负练习第4题，是两条直线相交的一种特殊情况，为下节课讲两直线互相垂直埋下伏笔．

　　变式训练，培养能力

　　投影显示（投影片6）

　　学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。

　　解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）．

　　∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）．

　　∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．

　　【教法说明】例题一方面巩固了对顶角的性质；另一方面说明几何里的计算题，需要用到图形的几何性质，因此，要有根有据地计算．例题放手让学生自己解决，比教师单纯地讲解效果会更好．尽管学生书写格式不如课本上的规范，但通过集体讲评纠正后，学生印象更深刻．

　　学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．

　　变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°

　　变式 2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍

　　变式3：把∠1＝40°变为∠1 ：∠2＝2：9

　　变式4：把∠1＝40°变为∠1＝平角

　　【教法说明】学生自编开放性的题目，一是活跃课堂气氛；二是培养学生的开放思维能力和逆向思维能力．变式1、2、3均可建立方程或方程组求解，几何中计算角度和线段长度等问题常借助代数方程来解决．

　　（四）总结、扩展

角的名称	特征	性质	相同点	不同点
对顶角	①两条直线相交面成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边	对顶角相等	都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现。	对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个有的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。
邻补角	①两条直线相交面成的角 ②有一个公共顶点 ③有一条公共边	邻补角互补

　　学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．

　　【教法说明】课堂小结以提问形式，由学生自己讨论，系统归纳总结，以便培养学生的概括表达能力．

　　八、布置作业

　　（一）必做题

　　课本第69页习题 2.1A组第2题．

　　（二）思考题

　　课本第70页习题2.1A组第4题

　　【教法说明】作业紧紧围绕着对顶角、邻补角的概念及对顶角性质．思考题是对顶角性质的一个应用实例，结合图形可以看出，活动指针的读数，就是两直线相交成一个角的度数，培养学生应用数学的意识．

　　（三）作业答案

　　 2．解：（1）∠AOD的对顶角是∠BOC，∠EOC的对顶角是∠DOF．

　　（2）∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF.

　　（3）∠BOD＝∠AOC＝50°（对顶角相等），∠BOC＝180°－50＝130°（邻补角定义）．

　　4．应用对顶角相等的性质测量角．

　　九、板书设计

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教学设计示例

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生掌握垂线的概念。

　　2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

　　3．使学生理解并掌握垂线的第一个性质。

　　（二）能力训练点

　　1．通过对垂线定义做正、反两方面的推理，培养学生的逻辑推理能力。

　　2．通过垂线的画法，进一步培养学生的实际动手操作能力。

　　（三）德育渗透点

　　使学生初步树立辩证唯物主义观点。

　　（四）通过垂线，使学生进一步体会到几何图形的对称美。

　　二、学法引导

　　1．教师教法：活动投影片演示直观教学法，引导发现法．

　　2．学生学法：在教师的指导下，自主式学习．

　　三、重点、疑点及解决办法

　　（一）重点

　　垂线概念和性质．

　　（二）难点

　　垂线的判断和性质的理解运用．

　　（三）疑点

　　垂线的性质．

　　（四）解决办法

　　通过创设情境，引导学生主动发现性质，并运用练习加以巩固．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、三角尺、量角器、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过创设情境，复习基础知识，引入课题．

　　2．通过教师引导提问，学生思考、互相叙述和纠正，教师点拨，练习巩固新课．

　　3．通过师生互答完成归纳小结．

　　七、教学步骤

　　（一）明明目标

　　通过画垂线，使学生既能理解并掌握垂线的概念和第一个性质，又能提高学生的动手操作能力．

　　（二）整体感知

　　以情境引入课题，以引导学生讨论思考、动手操作和教师点拨相结合完成教学任务，以练习检测为巩固检查手段，强化教学内容．

　　（三）教学过程

　　创设情境，复习引入

　　提出问题：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？

　　（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？

　　 教师演示：（活动投影片）转动直线CD的同时，用量角器量直线AB、CD相交所得的角，多变换几种位置一直转到使直线CD与AB所成的角有一个角∠AOC＝90°（如右图）．

　　学生活动：当∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？学生回答完后，引入课题．

　　【板书】2.2垂线

　　【教法说明】因为对顶角、邻补角及对顶角的性质，是建立垂直概念的基础之上，所以在讲新课前要复习巩固这些内容．

　　探究新知，讲授新课

　　提出问题：什么样的两条直线互相垂直？

　　学生活动：学生思考上面的问题，同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答．

　　教师根据学生回答情况，适当加以引导点拨，然后板书：

　　【板书】 1．垂直定义

　　当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的里线，它们的支点叫做垂足．

　　提出以下问题帮助学生理解定义（投影显示，投影片1）

（1）“有一个角是直角”是指四个角中的哪一个角？ （2）“互相垂直”是什么意思？ （3）相交的两条直线都垂直吗？

　　【教法说明】用活动投影片演示“两条直线互相垂直”这个概念的产生过程，使学生形成对概念的感性认识再回过头来进行定义，并且从演示过程中看到垂直是两条直线相交的一种特殊情况，认识了事物间的发展变化的辩证关系，提出问题帮助学生理解概念，比教师单纯“强调”效果更好．

　　学生活动：让学生举出日常生活和生产中常见的垂直关系的实例．（十字路口的两条道路；方格本的横线和竖线；铅垂线和水平线．）

　　【教法说明】通过举例，启发学生广泛联想，一方面让学生知道两直线垂直的概念是从实物中抽象出来的；另一方面使理论与实际相联系．

　　2．垂直的记法、读法和判定

　　学生活动：让学生自己尝试学习，阅读课本第60页的内容，然后师生间相互交流．

　　归纳：①直线垂直的记法读法：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”域“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图右上）．

　　②垂直判定：∵∠AOC=90°，

　　∴AB⊥CD（垂直的定义）．

　　∵AB⊥CD（已知），

　　∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．

　　学生活动：用∠AOD、∠BOD或∠BOC让学生重复练习正、反两步推理．

　　【教法说明】让学生自己尝试学习，可充分发挥学生的积极性、主动性，对垂直定义做正、反两方面的推理可加深学生对定义的理解，一方面为了渗透符号推理格式，熟悉符号的使用；另一方面可加深学生对定义的理解，定义既可以作判定用，又可以当性质用．

　　3．垂线的画法及性质

　　学生活动：让学生用三角板或量角器，过直线上一点或者直线外一点画直线的垂线，回答过直线上（直线外）一点能不能画这条直线的垂线？能画几条？（请一个学生到黑板上去画）

　　通过画图，得垂线的第一条性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

　　提出问题：

　　（1）“过一点”包括几种情况？

　　（2）“有且只有”是什么意思？（“有”表示存在，“只有”表示惟一．）

　　【教法说明】垂线的性质放手让学生自己动手画图，自己总结，培养了学生动手，动脑，发现问题和解决问题的能力，达到能力培养的目标．

　　学生活动：让学生尝试画一条线段或射线的垂线（一个学生板演）．

　　【教法说明】学生画图时，教师巡回指导，发现问题，及时纠正，使学生加深印象，进一步培养学生动手操作能力．

　　尝试反馈，巩固练习

　　投影显示（投影片2）

　　【教法说明】平面内两条直线互相垂直，是一种非常重要的位置关系，本组练习态在使学生会用定义判断两直线垂直，并且应从不同角度去掌握判断它的方法．

　　投影显示（投影片3）

　　【教法说明】本组填空题主要是通过变式图形，让学生判断两条直线垂直，防止思维定式．第1题区别垂直相交和外交。第2题通过计算判断两条直线垂直，第3题是巩固两条直线垂直的性质．

　　投影显示（投影片4）

　　【教法说明】在前边练习的基础上，学生自己解决并不难，教师要完全放手，开阔学生思路，学生可能出现多种解法，口算、算术解法、列方程等，找一个用方程解决的学生板演，因为这种方法更具有一般性，并通俗易懂，学生易于接受．解这类综合性的题，要求学生能结合图形，发现几何对象在数量上的明显关系及隐含关系并会用代数手段进行计算，另外对几何对象的位置关系要会紧扣定义判断．

　　投影显示（投影片5）

　　【教法说明】让学生在理解概念的基础上，多动手练习画垂线，进一步体会垂线的惟一性，同时培养学生的动手操作能力。

　　（四）总结、扩展

　　投影显示（投影片6）

　　【教法说明】通过小结，帮助学生全面地理解掌握所学知识，使知识成为“体系”从而形成新的认知结构。

　　八、布置作业

　　（一）必做题

　　课本第70页习题2.1A组第5题。

　　（二）选做题

　　课本第72页B组第5题。

　　【教法说明】让学有余力的学生进一步做B组练习，目的是调动学生的学习和积极性，提高学生思维广度，培养学生良好的学习习惯和思维方式。

　　作业答案

　　九、板书设计

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