第一节 相交线、对顶角

典型例题

　　例1 判断下列各图中的 和 是不是对顶角？（如图）

　　分析 判定两个角是不是对顶角，不能仅凭直觉观察，要根据对项角的本质特征：两直线相交，没有公共边来判断．

　　解：（1）、（2）、（3）中的 与 都不是对顶角，（4）中的角是对顶角．

　　例2 下列各图中的 和 是不是邻补角？为什么？

　　分析判定两个角是不是邻补角应根据邻补角的特征来判断，必须同时满足以下三个条件的角才是邻补角：一是有公共顶点；二是有一条公共边；三是另一边互为反向延长线．

　　解：（l）中的 与 不是邻补角，因为不满足条件三；

　　（2）中的 与 不是邻补角，因为不满足条件一、二；

　　（3）中的 与 是邻补角，因为满足邻补角的三个条件．

　　例3 判断下列说法是否正确，并说明理由：

　　(l)有公共顶点的两个角是对顶角；

　　(2)相等的两个角是对顶角；

　　(3)互为对顶角的两个角的余角相等．

　　解：(1)不正确，对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角（对顶角的另一定义）”．有公共顶点的两个角，其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线(如图)

　　(2)不正确，对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的大小比较，是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角．

　　(3)不正确，对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，所以不一定有余角．

　　例4 已知如图，直线AB、CD相交于O，且 的度数是 的2倍.

　　 求：（1） 、 的度数；

　　（2） 、 的度数.

　　分析 看图可知 与 是邻补角，从而有 ，而又知 ，于是可求出 与 的度数； 与 是对顶角， 与 是对顶角，由“对顶角相等”便可求 与 的度数.

　　解：（1）∵ AB是直线（已知）

　　∴ 与 是邻补角（邻补角定义）

　　∴  （补角定义）

　　设 的度数为 ，则 的度数为 ，

　　∴

　　即 ，

　　（2）∵ AB、CD相交于O（已知）

　　∴ ， （对顶角相等）

　　∵ ， （已求）

　　∴ ， （等量代换）

　　说明 已知两角的比值，通常设未知数，建立方程，通过解方程解决问题，是常驻考虑的一种思想方法.

　　例5 已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分 且 ，求 的度数.

　　 分析 观察图形可知， 与 是邻补角，所以 的度数可求，又由OE是 的角平分线可求得 ，而 与 是对顶角，故 可求.

　　解：∵AB是直线（已知）

　　∴ 与 是邻补角（邻补角定义）

　　∴ （补角定义）

　　又 （已知）

　　∴ （等式性质）

　　∵OE平分 （已知）

　　∴ （解平分线定义）

　　即

　　∵ 与 是对顶角（由图可知）

　　∴ （对顶角相等）

　　∴

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典型例题

　　例1 判断下列语句是否正确，如果是错误的，请说明理由．

　　(1)过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离．

　　(2)从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．

　　(3)画出直线外一点到直线的距离．

　　(4)如图，延长直线AB，画出表示点P到直线AB的距离的垂线段PQ．

　　解：(1)这种说法是错误的．因为垂线是直线．它的长度不能度量．正确的说法是“垂线段的长度叫做点到直线的距离”．

　　(2)这种说法是错误的．因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段本身，而是指垂线段的长度．

　　(3)这种说法是错误的，因为距离是一个数量，而不是图形．正确的说法应该是“画出直线外一点到直线的垂线段”或“度量直线外一点到直线的距离”．

　　(4)这种说法是错误的．因为AB是直线，直线是向两方无限延伸的，不能说“延长直线”．

　　例2 在给出的图形中，完成下列作图

　　(1)作出点A到BC的垂线段AD，并量出点A到直线BC的距离．

　　(2)过点B作AC的垂线，垂足为E；过点C作AB的垂线，垂足为F．

　　(3)延长DA，你发现有什么有趣的结论？

　　分析：

　　(l)点A到直线BC的垂线段是线段AD，而点A到直线BC的距离是指垂线段AD的长度．

　　(2)画一条线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线．因此垂足可能在线段或射线的延长线上．在本题中作垂线时，需将直线BA、CA画长些，即需延长线段BA、CA(见图)

　　(3)延长DA后，可以发现直线DA、BE、CF交于同一点G，对这一事实，将在初二时作出证明．

　　 例3 已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O， ，求 的度数。

　　分析 由 可知 ，因此， 与 互余。又因为 与 是对顶角，于是 ，于是 可求。

　　解法一：∵ 直线AB与EF交于O，(已知)

　　∴ （对顶角相等）

　　∵ （已知）

　　∴ （等量代换）

　　∵AB、CD互相垂直（已知）

　　∴ （垂直定义）

　　∴

　　∴

　　 

　　解法二：∵ 直线AB、CD互相垂直（已知）

　　∴ （垂直定义）

　　∴

　　∵   （已知）

　　∴

　　∵直线AB与直线EF交于点O（已知）

　　∴    （对顶角相等）

　　∴ （等量代换）

　　例4 已知：如图OA⊥OD，OC⊥OB，∠COD=60°，求∠AOB的度数．

　　分析：

　　方法1．先分别求出∠AOC与∠BOD的度数，再用三个角∠AOC，∠CDD，

　　∠DOB的和求∠AOB的度数．

　　方法2．先求∠AOC的度数，用∠AOC与∠COB两个角的和求∠AOB的度数．

　　方法3．先求∠BOD的度数，用∠AOD与∠BOD两个角的和求∠AOB的度数．

　　方法4．直接用∠AOD与∠BOC的和减去重叠部分∠COD亦可．

　　解：方法3

　　∵OA⊥OD

　　OC⊥OB(已知)

　　∴∠AOD=90°

　　∠BOC=90°(垂直定义)

　　∵∠COD=60°(已知)

　　∴∠BOD=∠BOC－∠COD=90°－60°=30°(余角定义)

　　∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+30°=120°

　　 例5 已知，如图， ，D是垂足，连结OB，下列说法中：

　　①线段OB是O、B两点的距离；②线段OB的长度是O、B两点的距离；③线段OD是O点到直线BC的距离；④线段OD的长度是O点到直线BC的距离．

　　其中正确的个数有（　）

　　（A）1　（B）2　（C）3　（D）4

　　分析本题主要考查两点间的距离及点到直线距离的概念．两点间的距离是指连结两点的线段的长度，而不是线段；点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．由此可知②、④是正确的．

　　解选（B）．

　　说明 注意“垂线段”与“垂线段长度”的区别．

　　例6 △ABC中，∠C=90°，三角形的哪一条边最长？为什么？

　　解：AB边最长，理由如下：

　　∵∠C=90°(已知)

　　∴AC⊥BC(垂直的定义)

　　∴AC是点A到直线BC的垂线段．

　　而AB是点A到直线BC的斜线段．

　　∴AC＜AB(垂线段最短)．

　　同理可以证明BC＜AB，所以AB边最长．

　　例7 在下图的长方体中，棱D′C′与哪些面垂直？平面D′DCC′与哪些面垂直？为什么？

　　解：根据长方体的棱与面的特征可知

　　D′C′⊥B′C′，D′C′⊥C′C

　　D′C′⊥A′D′，D′C′⊥D′D

　　而且，B′C′与C′C在同一平面B′C′CB内相交；A′D′与D′D在同一平面A′D′DA内相交．所以，棱D′C′与平面B′C′CB垂直，与平面A′D′DA也垂直．

　　同样道理，可以知道B′C′是平面D′DCC′的垂线，AD也是平面D′DCC′的垂线．而平面A′D′C′B′和平面B′C′CB都经过直线B′C′；平面A′D′DA和平面ADCB都经过直线AD．所以，平面A′D′C′B′、B′C′CB、A′D′DA、 ADCB都与平面D′DCC′垂直．

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