第一节 相交线、对顶角

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“相交线、对顶角”概念的教学

　　“对顶角”是几何的一个基本概念，不但以后的学习中常常用到它，而且义教教材在这一节开始渗透了推理形式．因此，使学生理解和掌握对顶角的概念和性质，对以后的学习有着十分重要的作用．我按照人们认识事物的过程进行教学，让学生进行观察，引导他们探索和思考，使学生体验和重视新知识形成的全过程．

　　一、引导学生认真观察，强化感性认识

　　1．上课开始，教师拿出两根钉在一起的木条，张开一定角度让学生观察实物模型．并指出：这种在生活实践中遇到的问题，在几何中反映为右面的图1．

　　观察图形并提出问题：

　　(l)用语言描述图1．(生：直线a、b相交于点O)

　　(2)图1中两条直线相交，构成了哪几个角．(生：四个角，∠1、∠2、∠3、∠4)

　　(3)模仿图1画一个图，用量角器测量各角度数．这四个角在数量上有什么关系？(∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠3=180°，

　　∠4+∠1=180°)

　　2．固定木条a，使木条b绕O转动，让学生观察后回答．

　　(l)木条b的位置变化后，∠l、∠2、∠3、∠4的大小变了没有．(生；变了)

　　(2)∠1与∠2，∠l与∠3的数量关系发生了什么变化？(生：没有变，仍是

　　∠1+∠2=180°，∠1=∠3)

　　师：像图1中的∠1和∠2，∠1和∠3都是两条直线相交所成的角，这样的角叫什么角，它们又有什么性质？

　　二、引导学生阅读理解，并通过变式强化概念本质

　　1．请同学们打开书第52页．

　　阅读提纲：(1)什么是邻补角？有什么数量关系？如何判断？邻补角和补角有何区别？

　　(2)具有什么特征的角是对顶角？怎样判断？

　　2．在初步掌握概念的基础上，出示下列图形让学生辨析．

　　在指导辨析的基础上，归纳出：

　　邻补角与对顶角的共同点：

　　(l)前提相同---都是两条直线相交于一点构成的角．

　　(2)都是两角的相互关系．

　　(3)都是有公共顶点的角．

　　邻补角与对项角的不同点：

　　(l)邻补角有公共边，对顶角没有公共边．

　　(2)一个角的对顶角只有一个，一个角的邻补角有两个．

　　邻村角与补角比较---邻补角是特殊的补角，它不但包含两角的数量关系，而且有位置关系，补角只是指两角的数量关系．

　　三、渗透推理思想，发展思维能力

　　前面我们通过测量得出：邻补角的和是180°，对顶角相等两个结论．因为互为邻补角一定是互为补角，所以邻补角的和是180°是显然的，但对顶角是否相等呢？观察图1，引导提问：∠1与∠2是什么关系？(邻补角，∠1+∠2=180°)

　　∠2+∠3又是什么关系？(邻补角，∠2+∠3=180°)

　　由上面条件能否推出∠1=∠3，为什么？(相等，∠1与∠3都是∠2的补角)

　　前面说理过程中的条件是什么？(∠l+∠2=180°，∠2+∠3=180°)

　　依据的道理是什么？(同角的补角相等)

　　得出的结果是什么？(∠1=∠3)

　　最后板书推理过程：

　　∵∠l+∠2=180°，∠2+∠3=180°(邻补角定义)

　　∴∠1=∠3(同角的补角相等)

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⊥垂直号

　　建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线，来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，如图1．这条带铅锤的线叫做铅垂线．测量时这条线在空中自由摆动画出了圆弧，当它静止下来时，铅垂线和地面成直角．当铅垂线与墙壁面平行时，自然墙面和水平面就垂直了．

　　在平面几何中，把相交成直角的两条直线叫做两条直线互相垂直．“垂直”用“⊥”表示，读作“垂直于”．在图2中，直线AB和CD垂直时，记作：AB⊥CD．

　　垂直号简便易写，是几何学里常用的符号之一．空间直线和平面垂直，平面和平面垂直，两条异面直线互相垂直等，都是通过平面里两条直线的垂直来判定的，因而可以看作是平面几何里垂直概念的拓广．

　　如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直．

　　如图3中，直线l垂直于平面α，记作：l⊥α．

　　可以证明：只要直线l垂直于平面α内两条相交直线，就有l⊥α．

　　同样，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，叫做两个平面互相垂直．

　　图4中，当平面α和平面β垂直时，记作α⊥β．

　　也可以证明：若平面α通过一条垂直于平面β的直线，则α⊥β．

　　垂直号“⊥”十分形象地表达了直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直关系，是几何中常用的符号之一．

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