第二节 弧度制

教学设计示例（一）

弧度制

教学目标：

　　1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．

　　2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．

教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

教学难点：弧度制定义的理解．

教学用具：投影仪．

教学过程

1．设置情境

　　在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

2．探索研究

（1）复习角度制

　　我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？

　　规定把周角的 作为1度的角．

　　我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

（2）弧度制定义　　　

　　我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ， 所对的圆心角 就是1弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度．

图1

 的弧度数       的弧度数

　　提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？

　　因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 ．

　　在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长 ，则这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

　　提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？

　　如图2，设 为 的角，圆弧 和 的长分别为 和 ，点 和 到点 的距离（即圆半径）分别为 和 ，由初中学过的弧长公式可得： ， ，于是 ．上式表明，以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．

　　因 ，可以得到 ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式 要简单．

（3）角度制与弧度制的换算

　　用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，两边除以2．

　　得         等式两边同除180

　　得  

　　同理，把弧度换成角度．

                     

                     

                     

【例1】把 化成弧度．

解：∵

　　∴

【例2】把 化成度．

解：

同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键．

下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

角度
弧度

按从左至右顺序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 ．

（4）角度制与弧度制的比较

　　引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．

【例3】计算：

（1） ；（2） ．

解：（1）∵        ∴

　　（2）∵



练习（用投影仪）

1．把下列各角化成 的形式：

　　（1） ；（2） ；

　　（3） ．

2．求右图3中公路弯道处弧 的长 （精确到 ，图中长度单位： ）．                                                   

参考答案：

1．（1）

　　（2）

　　（3）            

2．∵

　　∴

　　　

　　答：弯道处 的长约为 ．

3．练习反馈

　　（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．

　　（2）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形的中心角的弧度数．

　　（3）下列终边相同的是（　　）．

　　A． 与

　　B． 与

　　C． 与

　　D． 与

参考答案：（1） 、 、 ；　（2）2　　（3）B

4．总结提炼

　　（1） 弧度；

　　（2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时，将 乘以

　　（3）弧长公式：

扇形面积公式： ．（其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）

课时作业

1．角集合 与 之间的关系为（      ）

　　A．B． C． D．不确定

2．若角 和 的终边互为反向延长线，则有（      ）

　　A． 　　　　B．

　　C． D．

3．中心角为 的扇形，它的弧长为 ，则该扇形所在圆的半径为______________．

4．若 ，且 与 的角的终边垂直，则 ．

5．已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦， 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少？

6．已知一个扇形周长为 ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积

参考答案：1．C  2．D   3．6； 4． 或 ； 5． ； 6．中心角 时， ．

教学设计示例（二）

弧度制

教学目标

　　1．理解角集与实数集 的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化．

　　2．能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题．

教学重点：能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

教学难点：能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题．

教学用具：投影仪

教学过程：

1．设置情境．

　　像角的概念推广一样，我们已经把 ～ 中角，利用“乘以 ”这一法则映射到实数集 上，那么， ～ 以外的角能否化为弧度制？如果能，如何转化呢？乘数因子是否仍为“ ”，本节课就来讨论这个问题．

2．探索研究

　　（1）正、负角的弧度定义．

　　 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角 的弧度数的绝对值 ， 为以角 作为圆心角的所对的弧的长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

　　（2）角集合与实数集 之间的一一对应

　　用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集 之间建立这样的一一对应关系（如图1所示）．

　　每一个角都有惟一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应．

　　于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中所以普遍采用弧度制，这是原因之一．

　　（3）有关公式

　　①弧长

　　②

　　（4）例题分析

　　【例1】下列站个角中哪几个是第二象限角？

　　（1） （2） 　　（3）

　　（4）9　　（5）－4　　（6）

解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　（5）

　　（6）

从而可知（2）（4）（5）所给的角在Ⅱ象限．

点评：①用弧度制表示终边相同的角的方法

　　②把一角化为 形式，其中 从而可判断角所在象限．

　　③在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如 写法不妥．

【例2】（1）把 化为 ， ， 的形式是（      ）

　　A． B． C． 　D．

（2）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（      ）

　　A．所对弧长相等　　　　　　B．所对的弦长相等

　　C．所对弧长等于各自半径　　D．所对的弧长为

解：∵

　　∴

　　∴选D．

（2）由弧度制定义，知半径为 的圆上，1弧度的弧长应等于半径 ，故选 ．

【例3】填空

　　（1）在 内找出与 终边相同的角______________．

　　（2）圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是________________．

　　（3）在扇形 中， ，弧长为1，则此扇形内切圆的面积____________．

解：（1）与 终边相同角，设为 ．令

　　∴所求角为： ．

　　（2）设圆半径为 ，则内接正三角形边长为 ，当弧长 时，其所对圆心角 ．

　　（3）如图2，设扇形半径为 ，内切圆半径为 ，则由

　　∵

　　∴

3．练习反馈

　　（1） ＝___________弧度； ＝____________弧度；－10弧度_________度

　　（2）与 终边相同的角是__________，它们是第__________象限角，其中最小正角为__________，最大负角为___________．

参考答案：

　　（1） ； ；

　　（2） ；它们是第三象限角；最小正角为 ，最大负角为 ．

4．总结提炼

　　（1） （度） ；

这里， 为任一角度制角， 为任一实数（弧度）

　　（2）有了弧度制，实现了角度集与实数集合之间的一一对应，对应法则是正比例函数 ．（ 为角度集合中元素， 为实数集中元素）．

　　（3）弧度制的引入，使得有关公式表达式简单，运算为常规的十进制．

　　（4）任一角 的弧度的绝对值为 ，也就是说，对于任意角的度量，其弧度要把符号和绝对值分开求．

课时作业

1．若 ， ， ，则 的终边位置关系是（      ）

　　A．重合　B．关于原点对称　C．关于 轴对称　D．关于 轴对称

2．如果弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（      ）

　　A．B．C．D．

3．地球赤道的半径是6370㎞，所以赤道上 的弧长是_________（精确到0.01㎞）

4．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2㎞，一列火车用每小时30㎞的速度通过，10秒间转过几度？

5．半径为 的扇形，其周长为 ，则扇形中所含弓形的面积是多少？

6．角 和角 的和是1弧度，差为 ，则 和 的弧度数分别是多少？

参考答案：1．C； 2．C；  3．1.85㎞； 

4．因为圆弧半径为 ， ， 走过弧长为 ，由公式 ；

5． ；　　6． ，

板书设计

弧度制（二） 1．正、负、零角的弧度制意义 2．角度集合与实数集间一一对应 3．例1

例2 例3

练习反馈 小结