第二节 弧度制
教学设计示例(一)
弧度制
教学目标:
1.明确引入弧度制的必要性,理解新单位制意义.
2.熟练掌握角度制与弧度制的换算.
教学重点:理解弧度制引入的必要性,掌握定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互化.
教学难点:弧度制定义的理解.
教学用具:投影仪.
教学过程
1.设置情境
在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?本节课就来尝试选择这种新单位.
2.探索研究
(1)复习角度制
我们在平面几何中研究角的度量,当时是用度做单位来度量角, 的角是如何定义的?
规定把周角的 作为1度的角.
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?
(2)弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,如图1,弧 的长等于半径 , 所对的圆心角 就是1弧度的角,弧度制的单位符号是 ,读作弧度.
图1
的弧度数 的弧度数
提问:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?
因为半圆的弧长 ,其圆心角的弧度数是 ,同理,若弧是一个整圆,其圆心角的弧度数是 .
在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ,角的概念推广后,弧的概念也随之推广,任一正角的弧度数都是一个正数.如果圆心角表示一个负角,且它以所对的弧长 ,则这个圆心角的弧度数是 ,由此我们给出弧度制的定义:一般地,可以得到:正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0;角 的弧度数的绝对值 ,其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长, 是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.
提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?
如图2,设 为 的角,圆弧 和 的长分别为 和 ,点 和 到点 的距离(即圆半径)分别为 和 ,由初中学过的弧长公式可得: , ,于是 .上式表明,以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值,由 的大小来确定,与所取的半径大小无关,仅与角的大小有关.
因 ,可以得到 ,那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积,这个公式比采用角度制时相应公式 要简单.
(3)角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时,除了零角以外,所得到的量数都是不同的,但它们既然是度量同一个角的结果,二者就可以相互换算.我们已经知识若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是 ,而在角度制里它是 ,因此 ,两边除以2.
得 等式两边同除180
得
同理,把弧度换成角度.
【例1】把 化成弧度.
解:∵
∴
【例2】把 化成度.
解:
同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键.
下面请大家写出一些特殊角的弧度数.
角度 |
|
|
|
|
|
|
|||||
弧度 |
|
|
|
|
|
按从左至右顺序其答案是:0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 .今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或“ ”通常省略不写,而只写相应的弧度数.例如:角 就表示 是 的角, 就表示 的角的余弦,即 .
(4)角度制与弧度制的比较
引进弧度制后,我们应将它与角度制进行比较,同学们应明确:①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而 是圆的 所对的圆心角(或该弧)的大小;③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
【例3】计算:
(1) ;(2) .
解:(1)∵ ∴
(2)∵
练习(用投影仪)
1.把下列各角化成 的形式:
(1) ;(2) ;
(3) .
2.求右图3中公路弯道处弧 的长 (精确到 ,图中长度单位: ).
参考答案:
1.(1)
(2)
(3)
2.∵
∴
答:弯道处 的长约为 .
3.练习反馈
(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求其三个内角的弧度数.
(2)已知扇形的周长为 ,面积为 ,求扇形的中心角的弧度数.
(3)下列终边相同的是( ).
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
参考答案:(1) 、 、 ; (2)2 (3)B
4.总结提炼
(1) 弧度;
(2)“角化弧”时,将 乘以 ;“弧化角”时,将 乘以
(3)弧长公式:
扇形面积公式: .(其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数, 为圆半径.)
课时作业
1.角集合 与 之间的关系为( )
A. B. C. D.不确定
2.若角 和 的终边互为反向延长线,则有( )
A. B.
C. D.
3.中心角为 的扇形,它的弧长为 ,则该扇形所在圆的半径为______________.
4.若 ,且 与 的角的终边垂直,则 .
5.已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦, 是此弦的中点,若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转,则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少?
6.已知一个扇形周长为 ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积
参考答案:1.C 2.D 3.6; 4. 或 ; 5. ; 6.中心角 时, .
教学设计示例(二)
弧度制
教学目标
1.理解角集与实数集 的一一对应,熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化.
2.能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
教学重点:能熟练地进行角度制与弧度制的互化.
教学难点:能灵活应用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
教学用具:投影仪
教学过程:
1.设置情境.
像角的概念推广一样,我们已经把 ~ 中角,利用“乘以 ”这一法则映射到实数集 上,那么, ~ 以外的角能否化为弧度制?如果能,如何转化呢?乘数因子是否仍为“ ”,本节课就来讨论这个问题.
2.探索研究
(1)正、负角的弧度定义.
正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角 的弧度数的绝对值 , 为以角 作为圆心角的所对的弧的长, 是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.
(2)角集合与实数集 之间的一一对应
用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集 之间建立这样的一一对应关系(如图1所示).
每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有惟一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.
于是,就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数,它的自变量的意义可以有多种解释,从而使三角函数的应用更加广泛,在数学与科学研究中所以普遍采用弧度制,这是原因之一.
(3)有关公式
①弧长
②
(4)例题分析
【例1】下列站个角中哪几个是第二象限角?
(1) (2) (3)
(4)9 (5)-4 (6)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
从而可知(2)(4)(5)所给的角在Ⅱ象限.
点评:①用弧度制表示终边相同的角的方法
②把一角化为 形式,其中 从而可判断角所在象限.
③在同一问题求解过程中,两种单位不能混用,如 写法不妥.
【例2】(1)把 化为 , , 的形式是( )
A. B. C. D.
(2)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角( )
A.所对弧长相等 B.所对的弦长相等
C.所对弧长等于各自半径 D.所对的弧长为
解:∵
∴
∴选D.
(2)由弧度制定义,知半径为 的圆上,1弧度的弧长应等于半径 ,故选 .
【例3】填空
(1)在 内找出与 终边相同的角______________.
(2)圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长,则该弧所对的圆心角的弧度数是________________.
(3)在扇形 中, ,弧长为1,则此扇形内切圆的面积____________.
解:(1)与 终边相同角,设为 .令
∴所求角为: .
(2)设圆半径为 ,则内接正三角形边长为 ,当弧长 时,其所对圆心角 .
(3)如图2,设扇形半径为 ,内切圆半径为 ,则由
∵
∴
3.练习反馈
(1) =___________弧度; =____________弧度;-10弧度_________度
(2)与 终边相同的角是__________,它们是第__________象限角,其中最小正角为__________,最大负角为___________.
参考答案:
(1) ; ;
(2) ;它们是第三象限角;最小正角为 ,最大负角为 .
4.总结提炼
(1) (度) ;
这里, 为任一角度制角, 为任一实数(弧度)
(2)有了弧度制,实现了角度集与实数集合之间的一一对应,对应法则是正比例函数 .( 为角度集合中元素, 为实数集中元素).
(3)弧度制的引入,使得有关公式表达式简单,运算为常规的十进制.
(4)任一角 的弧度的绝对值为 ,也就是说,对于任意角的度量,其弧度要把符号和绝对值分开求.
课时作业
1.若 , , ,则 的终边位置关系是( )
A.重合 B.关于原点对称 C.关于 轴对称 D.关于 轴对称
2.如果弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )
A. B. C. D.
3.地球赤道的半径是6370㎞,所以赤道上 的弧长是_________(精确到0.01㎞)
4.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2㎞,一列火车用每小时30㎞的速度通过,10秒间转过几度?
5.半径为 的扇形,其周长为 ,则扇形中所含弓形的面积是多少?
6.角 和角 的和是1弧度,差为 ,则 和 的弧度数分别是多少?
参考答案:1.C; 2.C; 3.1.85㎞;
4.因为圆弧半径为 , , 走过弧长为 ,由公式 ;
5. ; 6. ,
板书设计
弧度制(二) 1.正、负、零角的弧度制意义 2.角度集合与实数集间一一对应 3.例1 |
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