第三节 简谐运动的图象

典型例题

　　例1 一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列结论正确的是（   ）．

　　A．质点的振动频率为4Hz

　　B．在10s内质点通过的路程是20cm

　　C．在第5s末，质点的速度为零，加速度最大

　　D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的加速度方向和速度方向都相同．

　　［解析］由振动图像直接可得 cm，因此振动频率 Hz，在10s内（即2.5T的时间内）质点通过的路程为2.5×4A＝2.5×4×2＝20（cm），在第5s末，质点的位移正向最大，因此加速度反向最大，速度为零，在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻，质点的位移相同，质点的加速也相同，方向都沿－x，但在t＝1.5s时质点向下振动，在t＝4.5s时质点向上振动．

　　正确选项为BC．

　　例2 如图所示为某一质点的振动图像，由图像可知在 和 两时刻，质点的速度 、 ，加速 、 的正确关系为（  ）

　　A． ，方向相同　　B． ，方向相反

　　 C． ，方向相同　　D． ，方向相反

　　出题目的：考查利用振动图象判断某一物理量在不同时刻的状态.

　　［解析］在 时刻质点向下向平衡位置运动，在 时刻质点向下远离平衡位置运动，所以 与 的方向相同，但由于在 时刻质点离平衡位置较远，所以 ， ，质点的加速度方向总是指向平衡位置的，因而可知在 时刻加速度方向向下，在 时刻加速度方向向上．正确选项为AD．

　　例3 如图所示，在光滑的水平横杆上，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐运动振动周期为2s，则振子由O运动到OC中点所需的最短时间为        s．

　　出题目的：考查利用振动图象振动周期判断振动物体的运动情况.

　　［解析］振子从O运动到OC中点所需的时间在O向C运动时最短，若以向左的位移为正，做出从O开始向左运动计时的振动图像，如下图所示，

　　在质点到达OC中点时的位移值是A／2所对应的时刻 ，由正弦函数的性质可知 （s），即质点由O到OC中点所需最短时间为 s．

　　例4 对于作简谐振动的物体，下列说法正确的是

　　A．在一个周期内，物体通过的路程为振幅的4倍

　　B．在四分之一个周期内，物体通过的路程为振幅的1倍

　　C．在半个周期内，物体通过的路程为振幅的2倍

　　D．在四分之三个周期内，物体通过的路程为振幅的3倍

　　出题目的：考查利用振动图象判断不同周期内，振动物体通过的路程的情况.

　　解析  对于作简谐运动的物体，在一个周期内，它通过的路程是振幅的4倍，但是对于不是周期的整数倍的时间内，它通过的路程可用振动过程的x-t图象来说明，如图所示在图中选取了几个不同的时间间隔来分析：

　　 ，物体的路程由图可知，刚好为振幅A的一倍，即

　　 ，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为

　　 ，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为

　　 ，物体的路程由图可知，这段时间内的路程为

　　这说明了在四分之一个周期的时间内，振动物体通过的路程可能是一个振幅，可能小于振幅，也可能大于振幅（只有振动的物体从平衡位置开始或从最大位移处开始的四分之一个周期内的路程才是等于一个根幅的长度）。在二分之一周期内，振动物体的路程总是振幅的2倍。从以上的分析可知：A、C选项正确。

　　解题思路评析  应用振动的图象来分析问题是很直观的，简捷。虽然振动图象是表明振动物体的位移x与时间t的关系，但用它来分析振动物体在一段时间内的路程却比用计算法快捷。

　　例5 一个质点作简谐振动的图像如图所示。则该质点

　　（A）在0．035s时速度为正，加速度为负值

　　（B）在0．04s时速度最大，加速度为零

　　（C）在0～0．01s内，速度和加速度同向

　　（D）在第二个0.01s内，回复力做负功

　　出题目的：考查利用振动图象判断某一时刻每个物理量的状态的掌握.

　　解析：  根据加速度方向与位移方向相反的特征可确定0．035s时，加速度为负值，0～0．01s内加速度为负值．根据加速度与位移大小成正比，可知，t=0．04s时，加速度最大，故B错误．

　　由图像知在t=0.035s前的0．03s的位移为零，而在该时刻后的0．04s的位移为正最大值．可见，0．035s时处于向位移正最大值运动的过程中，速度应为正值．另外，根据t=0．035s所对应的图线上该点切线斜率为正，也可确定速度为正值．同理，在0～0．01s内，速度为负值．故A、C均正确．

　　在第二个0．01s内，可判定回复力为正值，速度为负值，故回复力做负功．知D正确．

　　例6 某弹簧振子的固有频率为 ，将弹簧振子从平衡位置拉开4 后放开，同时开始计时，则在 时（    ）

　　A．振子正在做加速度减小的加速运动

　　B．振子正在做加速度增大的减速运动

　　C．振子在速度方向沿 轴正方向

　　D．振子的位移一定大于2cm

　　出题目的：考查利用振动周期的判断及振动中某一时刻各物理量的情况.

　　解：  ，则 。根据简谐周期性的特点。

　　

　

　　振子在 时的运动状态与 时相同。则 时的状态与 时的振动状态相同。作出振子的简谐运动图像如右图所示。  时，对应于图线上的P点，振于此时正在向正最大位移处运动，加速度正在增大，速度正在减小，速度方向为正方向，其位移一定大于 ，因此，选项“B”、“C”、“D”正确。

　　振动的往复性是振动的最大特点。每经过一个周期，质点的运动状态恢复。所以，没有必要将振子在 内的简谐运动的图像都做出来，只要观察振子在一个周期内的运动情况。以后的运动情况可顺推出来。

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