第三节 简谐运动的图象

声音的产生

　　声音是由振动产生的。当你说话时，就引起空气振动，振动传播出去，只要某人的耳朵接收到了这种振动他就会听到你的声音。声音能够在固体、液体中传播，也可以通过空气或其他气体传播。随着声音的传播，空气中的分子被挤压在一起，接着被分开，然后又被挤压，再被分开，如此反复，就产生了声波。声音可以是高音调的，也可以是低音调的。音调的高低依赖于声音的频率（每秒钟振动的次数）。声音的强弱依赖产生这个声音的振动的大小。振动大，声音就强；振动小，声音弱。声音的大小是以分贝为单位来度量的。修马路的钻机产生的噪音超过100分贝。图中的长号，当乐师吹奏它时，管中的空气发生振动，铜管号就发出了声音。铜管把声音传播出去，因而你能听到。

　　　　　　

　　图中的大提琴，当乐师把弓放在弦上来回拉动或弹拨弦时，弦振动发出声音。吉他和小提琴也是这样发声的。

最简单的乐器——单弦琴

　　在我们的周围，有许多重要的物理和化学现象发生。本文将借助科学，将一些深奥的理论和复杂的实验变成一些简单的实验，使愿意动手试一试的读者在家中即可进行有趣的实验。本文的话题是：在诸多乐器中，做一种最简单的乐器——单弦琴。这种乐器在古希腊就已为人们所熟悉。就是不会演奏乐器的人，也可以用这种简单的乐器研究弦的全部振动特性。

　　我们已经知道，伽利略花了大量的时间和精力对摆进行研究，他是第一位以严谨的态度分析微小摆动等时性（或者说振动频率与振幅无关）的科学家。伽利略的学生，传记作家维维亚尼讲述说，伽利略是在长时间观察比萨教堂中大吊灯的运动之后，才解决了这一问题的。但更大的可能是，作为有经验的诗琴（14-17世纪的一种拨弦乐器——译注）演奏者，伽利略的研究工作从以下事实得到了启示，即摆和振动的琴弦之间有一些相似之处。他很清楚，当琴弦上发出的声音逐渐变弱，即振幅下降时，它发出的音调依然不变，“索”（sol）还是“索”。既然音的高低和振动的频率对应，耳朵实际上就在提示我们，琴弦的振动是等时的。

实验用的单弦琴

　　伽利略既对乐器感兴趣，也对摆感兴趣。他确定了琴弦发出的音调与琴弦的各种物理与几何参数（弦的长度、粗细、张力以及制作的材料）之间的关系。根据这些规律，就是不会演奏乐器的人也可以通过调整这些参数产生出变化多端的频谱。比如钢琴就有7个以上的八度，或者说可以发出从20多赫兹到几千赫兹的音调来。

　　人们说伽利略演奏音乐并不是目的，而是将他的诗琴充作科学实验的工具。这并非不可能。事实上，正如我们随后将要介绍的那样，他所获得的结果完全是正确的。只要你有一个弦乐器就可以用它来做实验，但最好还是制作一个单弦琴，就像古希腊人为了研究音调的高低与弦的长度之间的关系而用过的那种乐器。除此之外，单弦琴还可以帮助你弄清楚古典音乐的和弦规律。这些规律可以告诉你哪些音在一起能发生共鸣，悦耳中听，哪些音在一起则不能。此外，我们建议制作的单弦琴还可以帮助人们研究琴弦的张力是如何决定音调的。

自制的单弦琴

　　通过一个可多动的琴马，就要以将单弦琴发出音调的高低和振弦的长度联系起来。通过小水桶的重量变化则可以研究音调的高低同琴弦张力的关系。

　　如图所示，取一块宽15厘米、长50厘米、厚1厘米的木板，将其固定在两块加固的小木条上。当然，为了更好地产生共鸣，最好是用封闭的长方形盒子。更简单的方法是利用一个现成的平面工作台。然后可将一根直径0．5毫米的钢质琴弦缠在平台左端的金属钉上，让琴弦通过一个坚硬的楔形琴马上的小切口固定在平台右端，并悬吊一个小水桶。最后在金属钉与琴马之间再放置一个坚硬的楔形琴马（叫游马），它比前一个稍微高一点，而且能够前后移动，以便调整绷紧的琴弦的长度，即两个琴马之间的部分，另外一部分则用布包起来使之不能发声。

　　将可移动的琴马移到平台的最左端，然后往小水桶里放进沙子或其他重物，以使琴弦绷紧。这时拨动琴弦，就能发出声音了。如果所用的吊桶重约1．5公斤，那么拨动琴弦时发出的声音就为220赫兹，或者说是标准音高（440赫兹）的低八度音。

和弦的规律

　　下面就可以开始实验了。如果将游马向右移，你就会发现音调在逐渐上升，而且琴弦的长度每缩短一半，频率就增加一倍，也就是提高一个八度。希腊人证实，拨动琴弦时发出的音调的基音同琴弦的长度，也就是两个固定点之间的距离成反比。他们还确立了古典音乐和弦的秘诀：只有当琴弦的长度之比为小的整数时，如1：2为八度（“多”——高音度“多”），2：3为五度（“多”——“发”）等等，奏出的两个音合起来才会产生自然的悦耳感觉。在进行这个实验的第二部分，即和弦实验时，最好使用两根弦的乐器，即所谓的双弦琴。

广阔的音域

　　一架钢琴的琴谱范围超过七个八度这样广阔的音域。

　　实验的第三部分，是研究琴弦的张力与音调的关系。将可移动的琴马固定，把琴弦拉紧，然后向小水桶中添加砂子。这时就会发现，要提高一个八度，沙子的重量就要增加到原来的4倍。这就说明频率是与琴弦张力的平方根成正比的。在实验中还可以观察到另一种现象：在向桶中灌砂子的过程中会出现“级进滑音”。

　　实验的第四部分，是研究琴弦的粗细与音调的关系。改变琴弦的粗细，并重复上面实验的步骤。在实验中如果用双弦琴，则可能会更容易地获得所期望的结果。通过实验你会发现，琴弦的横截面积减小一半与拉力增加一倍的效果是相同的。它表明，频率和琴弦的横截面积也是一种平方根的关系，不过是成反比的：琴弦越细，音调越高。

　　制作琴弦的材料的密度和频率的关系也和上面所述相同：琴弦越轻，音调越轻快。要验证这个结论，可以将钢质琴弦换成尼龙丝或肠衣制成的琴弦。实验时使两种琴弦的横截面积相同，其他条件也保持一样。此外，这时使用双弦琴能够使这个对比实验既快捷又更能使人信服。

　　当然，利用单弦琴我们还可以为大家提出更多的实验建议。但我们相信，对将来有志于从事乐器制作的读者，会有足够多的好奇心和聪明才智设计出更多的实验并做出应有的验证。但是，其结果一定和伽利略得出的结果一致。当年，伽利略像他通常所做的那样，将这些结果用文字加以表述，并没有采用数学公式去表达。但我们不妨将上面得到的结论用公式再表述如下：

　　上述公式中符号的含义如下：f为音调的基音频率；L为琴弦的长度；T为琴弦的张力；p为琴弦的密度；S为琴弦的横截面积。

　　这里还需要谈谈演奏时乐器的音色问题，这是区别不同乐器和同一乐器上弹拨音和拉音（用琴弓拉出的声音）之间区别的基本要素。音色是由琴弦发出的基音（或音高）的泛音（见图2）数目和相对强度决定的。由图2可以立刻看到，基音的波长为这些泛音波长的整数倍，泛音的频率是基音频率的整数倍（即倍频，如二倍频，三倍频等等）。如果泛音很多，而且频频出现，那么演奏出来的声音就丰富饱满，圆润甜美；如果泛音太少、太弱，声音就会显得干瘪和轻薄，缺乏厚重圆润感。一般来讲，基调越高尖，伴随它的泛音就越少，音色丰满感也就丧失了。例如当钢琴的琴键从低音向高音过渡时就会产生这种感觉。

为什么音色会变化

　　不同的人演奏相同的乐曲时，音色是不同的。这是因为在演奏乐器时，所发出的声音和正常音调不太相同，至少在乐器刚开始发出很强的音响时是如此。这有两个原因。首先，由于不同类型的拨奏手法产生了不同的假振方式（即与共鸣箱正常的共振状态不同的振动方式）。这种假振很快衰减，留下的较弱的尾音才是正常的音调，因而给人以不同的音色感觉。第二，快速过度的声音，由于持续时间太短，人的耳朵不太容易分辨。这是由人的听觉特性决定的，声音持续的时间越短，它的音调就越难以分辨。在演奏古钢琴时，由于快速拨奏，听众会有一种金属“磨擦”的感觉，这是因为它演奏出的音乐相应的泛音几乎完全失去而造成的结果。

音调的结构

　　上图是固定在平台两端长为Ｌ的琴弦的振动模式（弦的振动形式为驻波）。从上至下是基音和前四个泛音。琴弦的实际形变是由所有可能的振动模式的总和形成的。

电子琴的发音原理

　　电子琴既可以演奏不同的曲调，又可以发出强弱不同的声音，还可以模仿二胡、笛子、钢琴、黑管以及锣鼓等不同乐器的声音。那么，电子琴的发音原理是怎样的？

　　大家知道，当物体振动时，能够发出声音。振动的频率不同，声音的音调就不同。在电子琴里，虽然没有振动的弦、簧、管等物体，却有许多特殊的电装置，每个电子装置一工作，就会使喇叭发出一定频率的声音。当按动某个琴键时，就会使与它对应的电装置工作，从而使喇叭发出某种音调的声音。

　　电子琴的音量控制器，实质上是一个可调电阻器。当转动音量控制器旋扭时，可调电阻器的电阻就随着变化。电阻大小的变化，又会引起喇叭声音强弱的变化。所以转动音量控制旋扭时，电子琴发声的响度就随之变化。

　　当乐器发声时，除了发出某一频率的声音──基音以外，还会发出响度较小、频率加倍的辅助音──谐音。我们听到的乐器的声音是它发出的基音和谐音混合而成的。不同的乐器发出同一基音时，不仅谐音的数目不同，而且各谐音的响度也不同。因而使不同的乐器具有不同的音品。在电子琴里，除了有与基音对应的电装置外，还有与许多谐音对应的电装置，适当地选择不同的谐音电装置，就可以模仿出不同乐器的声音来

简谐运动与匀速圆周运动

　　作匀速圆周运动的物体，其投影的运动是简谐运动。因此我们也可以反过来把任何一个实际的简谐运动设想为一个匀速圆周运动的投影，这个设想的圆周叫参考圆。它以简谐振动的平衡位置O为圆心，以简谐振动的振幅A为半径，以简谐振动周期T为周期，它的角速度：

　　我们可以通过对参考圆的讨论来推导出简谐运动的位移、速度、加速度与 时间的关系。

简谐运动图像的物理意义

　　从简谐运动的图像我们可以了解到物体在振动时的许多物理量。比如，参看下图的振动图像可确定：

　　1．振幅A：图像的峰值．

　　2．周期T：相邻两个位移为正的最大值或负的最大值之间的时间间隔，频率 。

　　3．任一时刻t的位移x：对应于图像上某一点的坐标（t，x）．

　　4．任一时刻t的加速度a：总是指向平衡位置（平行于x轴指向t轴）．x＝0时，a＝0； x＝±A时，a达最大值．

　　5．任一时刻t的振动方向：图像斜率为正时速度为正（沿＋x方向），斜率为负时速度为负（沿－x方向），x＝0时，速度达最大值．

　　振动方向也可用类比法确定：将振动图像视为蜿蜒起伏的“山坡”，然后顺横坐标t时间轴正方向沿图线走去，“上坡路线”的时间内，各时刻物体都向上振动，“下坡路段”的时间内，各时刻物体都向下振动．

　　6．借助振动图像还可以说明加速度、速度随时间的变化情况．