第七节 四种命题

典型例题

　　例1 以下命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题：

　　（1）内接于圆的四边形的对角互补；

　　（2）已知 、 、 、 是实数，若 ，则 ．

　　分析 已知原命题，写出它的其他三种命题，首先应把原命题改写成“若 则 ”的形式，然后找出其条件 和结论 ，再根据四种命题的定义写出，就不难完成．

　　解 （1）原命题可以写成“若四边形内接于圆，则它的对角互补”，其中条件 是“四边形内接于圆”，结论 是“对角互补”．所以：

　　逆命题是“若一个四边形的对角互补，则它内接于圆”；

　　否命题是“若一个四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；

　　逆否命题是“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．

　　（2）原命题可以写成“已知 、 、 、 是实数，若 与 、 与 都相等，则 ．”其中，“已知 、 、 、 是实数”是大前提，“ 与 、 与 都相等”是条件 ，“ ”是结论 ．所以：

　　逆命题为“已知 、 、 、 是实数，若 ，则 与 、 与 都相等”；

　　否命题为“已知 、 、 、 是实数，若 与 、 与 都相等，则 ”；

　　逆否命题为“已知 、 、 、 是实数，若 ，则 与 、 与 不都相等”．

　　说明 值得注意的是，本例第（2）小题中的命题常表示成“已知 、 、 、 是实数，若 且 ，则 ”，这样就超过了大纲的要求，问题变复杂了．因此本小题采用了变通的形式．否则，本例第（2）小题中：

　　否命题为“已知 、 、 、 是实数，若 或 ，则 ”；

　　逆否命题为“已知 、 、 、 是实数，若 ，则 或 ．

　　例2 把下列命题改写成“ 则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

　　（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．

　　分析：重点找出原命题的条件 与结论 ．

　　解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；

　　逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；

　　否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；

　　逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．

　　（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；

　　逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；

　　否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；

　　逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．

　　例3 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．

　　（1）若 ，则 或 ．

　　（2）若 ，则 ．

　　（3）若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点．

　　解：（1）该命题为真．

　　逆命题：若 或 ，则 ．为假．

　　否命题：若 ，则 ， ，为假．

　　逆否命题：若 ， ，则 ．为真．

　　（2）该命题为假．

　　逆命题：若 ，则 ．为真．

　　否命题：若 ，则 ．为真．

　　逆否命题：若 ，则 ．为假．

　　（3）该命题为假．

　　逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 ．为假．

　　否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点．为假．

　　逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 ．为假．

　　评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．

　　（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定．

　　例4 用反证法证明：若 ，则 、 、 中至少有一个不等于0．

　　证明：假设 、 、 都等于0，则

　　

　　　              

　　　              

　　与 矛盾，所以 、 、 中至少有一个不等于0．

　　常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多有一个不等于零，或错认为是 、 、 中最多有一个等于零．

　　例5 当 时，如果 ，那么 ．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

　　分析： 是原命题的大前提，故在给出其它三个命题时， 仍是它们的大前提．

　　解：逆命题：“当 时，若 ，则 ．”由 得 ，由 得 ，故 的分子可以是负数，即 不成立，即逆命题为假．

　　否命题：“当 时，若 ，那么 ．”由 得 ，由 得 ，即 ．因此， 不能成立，否命题也为假．

　　事实上，逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，即它们同真、同假．

　　逆否命题：“当 时，如果 ，那么 ．”此命题为真．

　　由于 ，当 时， ，故 的分子为负，分母为正，即 ．

　　注：例题中，由于原命题的逆否命题为真，故原命题亦为真．“ ”是上述几个命题的大前提．

　　例6 “已知 、 、 、 是实数，若 ， ，则 ．”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

　　点拨 “已知 ， ， ， 是实数”是大前提，写四种命题时应该保留．这里原命题的条件是“ ， 都分别大于 ， ”，结论是“ ”．

　　解  原命题可以写成：已知 ， ， ， 是实数，若 ， 都分别大于 ， ，则 ．原命题为真．

　　逆命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ，则 ， 都分别大于 ， ．逆命题为假，可举一反例说明：如8＋3＞4＋4，但8＞4，3＜4．

　　否命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ， 不都分别大于 ， ，则 ．否命题为假．

　　逆否命题：已知 ， ， ， 是实数， ，则 ， 不都分别大于 ， ．逆否命题为真．

　　点评  注意，该原命题常表示成：已知 ， ， ， 是实数，若 ， ，则 ．写出它的逆命题、否命题、逆否命题问题就变复杂了，也超过了教学大纲和教材的要求．因此解答本题时，原命题表示方法采用了变通形式．对学有余力的学生，知道下列表示是有益的：

　　原命题：已知 ， ， ， 是实数，若 且 ，则 ．

　　逆命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ，则 且 ．

　　否命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ，或 ，则 ．

　　逆否命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ，则 ，或 ．

　　“若 则 ”形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与§1.6节中的复合命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．

　　另须指出的是：原命题 逆否命题，逆命题 否命题，因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．

　　例7 已知三个关于 的方程： ， ， 中至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围．

　　点拨   这类求参数取值范围的问题，直接求需分类讨论，很繁冗．若用反证法的思想和补集的思想求解，就一目了然．

　　解  设三个关于 的方程均无实数根，则



　　解①，得   ；

　　解②，得   ，或 ；

　　解③，得    ．

　　取①，②，③的交集，即不等式组的解集为

　                         ．

　　则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数 的取值范围应为 ，即

　                          ．

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