第七节 四种命题
例1 以下命题为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题:
(1)内接于圆的四边形的对角互补;
(2)已知 、 、 、 是实数,若 ,则 .
分析 已知原命题,写出它的其他三种命题,首先应把原命题改写成“若 则 ”的形式,然后找出其条件 和结论 ,再根据四种命题的定义写出,就不难完成.
解 (1)原命题可以写成“若四边形内接于圆,则它的对角互补”,其中条件 是“四边形内接于圆”,结论 是“对角互补”.所以:
逆命题是“若一个四边形的对角互补,则它内接于圆”;
否命题是“若一个四边形不内接于圆,则它的对角不互补”;
逆否命题是“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.
(2)原命题可以写成“已知 、 、 、 是实数,若 与 、 与 都相等,则 .”其中,“已知 、 、 、 是实数”是大前提,“ 与 、 与 都相等”是条件 ,“ ”是结论 .所以:
逆命题为“已知 、 、 、 是实数,若 ,则 与 、 与 都相等”;
否命题为“已知 、 、 、 是实数,若 与 、 与 都相等,则 ”;
逆否命题为“已知 、 、 、 是实数,若 ,则 与 、 与 不都相等”.
说明 值得注意的是,本例第(2)小题中的命题常表示成“已知 、 、 、 是实数,若 且 ,则 ”,这样就超过了大纲的要求,问题变复杂了.因此本小题采用了变通的形式.否则,本例第(2)小题中:
否命题为“已知 、 、 、 是实数,若 或 ,则 ”;
逆否命题为“已知 、 、 、 是实数,若 ,则 或 .
例2 把下列命题改写成“ 则 ”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题:
(1)两条平行线不相交.(2)正数的算术平方根是正数.
分析:重点找出原命题的条件 与结论 .
解:(1)原命题可写成:若两条直线平行,则两直线不相交;
逆命题:若两条直线不相交,则两直线平行;
否命题:若两直线不平行,则两直线必相交;
逆否命题:若两直线相交,则两直线不平行.
(2)原命题:若一个数是正数,则它的算术平方根是正数;
逆命题:若一个数的算术平方根是正数,则它是正数;
否命题:若一个数不是正数,则它的算术平方根不是正数;
逆否命题:若一个数的算术平方根不是正数,则它不是正数.
例3 判断下列命题的真假,并写出它的逆命题,否命题,逆否命题.同时,也判断这些命题的真假.
(1)若 ,则 或 .
(2)若 ,则 .
(3)若在二次函数 中 ,则该二次函数图像与 轴有公共点.
解:(1)该命题为真.
逆命题:若 或 ,则 .为假.
否命题:若 ,则 , ,为假.
逆否命题:若 , ,则 .为真.
(2)该命题为假.
逆命题:若 ,则 .为真.
否命题:若 ,则 .为真.
逆否命题:若 ,则 .为假.
(3)该命题为假.
逆命题:若二次函数 的图像与 轴有公共点,则 .为假.
否命题:若二次函数 中, ,则该二次函数图象与 轴没有公共点.为假.
逆否命题:若二次函数 的图像与 轴没有公共点,则 .为假.
评注:(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论,然后依照定义来写.
(2)在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要应用“原命题与其逆否命题同真或同假;逆命题与否命题同真或同假”来判定.
例4 用反证法证明:若 ,则 、 、 中至少有一个不等于0.
证明:假设 、 、 都等于0,则
与 矛盾,所以 、 、 中至少有一个不等于0.
常见错误及分析:往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多有一个不等于零,或错认为是 、 、 中最多有一个等于零.
例5 当 时,如果 ,那么 .写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.
分析: 是原命题的大前提,故在给出其它三个命题时, 仍是它们的大前提.
解:逆命题:“当 时,若 ,则 .”由 得 ,由 得 ,故 的分子可以是负数,即 不成立,即逆命题为假.
否命题:“当 时,若 ,那么 .”由 得 ,由 得 ,即 .因此, 不能成立,否命题也为假.
事实上,逆命题与否命题互为逆否命题,它们是等价命题,即它们同真、同假.
逆否命题:“当 时,如果 ,那么 .”此命题为真.
由于 ,当 时, ,故 的分子为负,分母为正,即 .
注:例题中,由于原命题的逆否命题为真,故原命题亦为真.“ ”是上述几个命题的大前提.
例6 “已知 、 、 、 是实数,若 , ,则 .”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.
点拨 “已知 , , , 是实数”是大前提,写四种命题时应该保留.这里原命题的条件是“ , 都分别大于 , ”,结论是“ ”.
解 原命题可以写成:已知 , , , 是实数,若 , 都分别大于 , ,则 .原命题为真.
逆命题:已知 , , , 是实数,若 ,则 , 都分别大于 , .逆命题为假,可举一反例说明:如8+3>4+4,但8>4,3<4.
否命题:已知 , , , 是实数,若 , 不都分别大于 , ,则 .否命题为假.
逆否命题:已知 , , , 是实数, ,则 , 不都分别大于 , .逆否命题为真.
点评 注意,该原命题常表示成:已知 , , , 是实数,若 , ,则 .写出它的逆命题、否命题、逆否命题问题就变复杂了,也超过了教学大纲和教材的要求.因此解答本题时,原命题表示方法采用了变通形式.对学有余力的学生,知道下列表示是有益的:
原命题:已知 , , , 是实数,若 且 ,则 .
逆命题:已知 , , , 是实数,若 ,则 且 .
否命题:已知 , , , 是实数,若 ,或 ,则 .
逆否命题:已知 , , , 是实数,若 ,则 ,或 .
“若 则 ”形式的命题虽然也是一种复合命题,但它与§1.6节中的复合命题不同,因而不能用课本上的真值表判断其真假.判断它的四种命题的真假,要严格证明,判断它的四种命题为假,只需举一个反例说明.
另须指出的是:原命题 逆否命题,逆命题 否命题,因而四种命题真假的个数一定为偶数,即0个或2个或4个.
例7 已知三个关于 的方程: , , 中至少有一个方程有实数根,求实数 的取值范围.
点拨 这类求参数取值范围的问题,直接求需分类讨论,很繁冗.若用反证法的思想和补集的思想求解,就一目了然.
解 设三个关于 的方程均无实数根,则
解①,得 ;
解②,得 ,或 ;
解③,得 .
取①,②,③的交集,即不等式组的解集为
.
则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数 的取值范围应为 ,即
.