第七节 四种命题

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

　　首先从初中数学的命题知识出发，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，介绍反证法．

2．重点难点分析

重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用．

　　（1）四种命题概念

　　①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

　　②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

　　③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

　　用 和q分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定，于是四种命题的形式就是：

　　原命题   若 则 ；

　　逆命题   若 则 ；

　　否命题    若 则 ；

　　逆否命题    若 则 ．

　　这样就得到了四种命题．

　　（2）四种命题都是以“若 则 ”的形式出现，这也是一种复合命题，其中的 和 ，可以是命题，也可以是一般的不能判断真假的语句．例如命题“若 ，则 ”，其中的 和 均不是简单命题．我们只需分清命题“若 则 ”中的条件和结论是什么就可以了，不必考虑 和q是否是命题．这是复合命题“若 则 ”与复合命题“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”的重要区别之一．

　　一般不研究 ， 中也含有逻辑联结词的“若 则 ”形式的命题的否命题和逆否命题，例如一般不要求写出命题“若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形或矩形”的否命题和逆否命题．

　　（3）一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

　　①原命题为真，它的逆命题不一定为真；

　　②原命题为真，它的否命题不一定为真；

　　③原命题为真，它的逆否命题一定为真；

　　④原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真．

　　可见，四种命题真假的个数是偶数，即0，2，4个．

　　判断一个“若 则 ”形式的复合命题的真假不能用课本上的真值表，可采用下列办法：

　　若由 经过推理能得出 ，则可确定“若 则 ”是真命题；确定“若 则 ”是假命题，只需举出一个反例．

　　（4）用反证法证明命题的一般步骤是：

　　①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

　　②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

　　③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

　　从逻辑角度看，命题“若 则 ”的否定，是“ 且非 ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“ 且非 ”为假，因此可知“若 则 ”为真．这种证明的方法就是反证法．学习反证法，一方面要加强对代数命题的训练，另一方面要注意控制难度，对反证法的掌握，并非一朝一夕的事，必须随着学习的深入，逐步提高．

　　反证法的运用关键是注意以下问题：

　　（1）准确的作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提；

　　（2）在推论时，注意如何导致矛盾；

　　（3）明确哪些类型的数学命题宜用反证法来证明．

（二）教法建议

　　1．从初中学过的命题与逆命题的知识引入，多举学生学过的命题与逆命题的实例，如平面几何的一些定理或结论，然后结合实例得出否命题与逆否命题的概念；

　　2．教师要根据学生的具体情况，制订具体的教学过程和教学内容．

　　对于学生程度较差的情况，应注意抓住重点内容，以教师多举一些实例为主，在具体分析实例的基础上进行抽象提炼，注意加强基本的训练．

　　对于学有余力的学生，要以学生举例为主，充分调动学生积极主动性，展开讨论，以学生探索，教师引导总结为主，在课时允许的情况下，还可以适当补充以下两条性质，知道并理解下面两条性质还是有用处的：

（1）“ 或 ”的否定是“ 且 ”；

（2）“ 且 ”的否定是“ 或 ”．

这两条性质可以借助于集会知识帮助领悟和记忆：

　　

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