第八节 有理数的乘法
典型例题
例1 计算下列各题:
(1) 35×(-4) (2) (-8.125)×(-8)
(5) (-132.64)×0 (6) (-6.1)×(+6.1)
分析:按有理数乘法法则进行计算:第(6)题是两个相反数的积,注意与相反数的和进行比较.
解:(1)35×(-4)=-140
(2)(-8.125)×(-8)= 65
(5)(-132.64)×0= 0
(6)(-6.1)×(+6.1)=-37.21
说明:在进行有理数乘法运算时,除了要熟练掌握乘法法则之外,还应当注意以下两点:
1.一个数乘以1等于它本身,一个数乘以-1等于它的相反数.
a×1=a,a×(-1)=-a.
2.两个相反数的和与积是完全不同的两个结果,不要混淆.
a+(-a)=0,a×(-a)=-a2.
例2 判断题(对的入“T”,错的入“F”)
(1) 同号两数相乘,符号不变. ( )
(2) 异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号. ( )
(3) 两数相乘,如果积为正数,则这两个因数都为正数. ( )
(4) 两数相乘,如果积为负数,则这两个因数异号. ( )
(5) 两数相乘,如果积为0,则这两个数全为0. ( )
(6) 两个数相乘,积比每一个因数都大. ( )
(7) 如果ab>0,且a+b<0,则a<0,b<0. ( )
(8) 如果ab<0,则a>0,b<0. ( )
(9) 如果ab=0,则a,b中至少有一个为0. ( )
解:(1)F.同号两数相乘,符号为正.
(2)F.异号两数相乘,符号为负,与绝对值的大小无关.
(3)F.这两个因数也可以都为负数.
(4)T.
(5)F.两数相乘积为0,两数中可以有一个不为0.
(6)F.不一定,例如异号两数相乘时,积就比正因数小.
(7)T.
(8)F.当ab<0时,也可能是a<0,b>0.
(9)T.
例3 填空题:
(1)五个数相乘,积为负,则其中正因数有____个.
(2)四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积abcd=25,那么a+b+c+d=____.
分析:(1)五个数相乘积为负,说明五个数中,负因数的个数是1个,3个或5个.
(2)因为25=1×5×5,又a,b,c,d是四个各不相等的整数,所以这四个数只能是±1和±5.
解:(1)五个数相乘积为负,说明五个数中,负因数的个数为奇数,即1个,3个或5个.
∴正因数有4个,2个或0个.
(2)∵a,b,c,d是四个各不相等的整数,且abcd=25=1×5×5,
∴a,b,c,d只能是+1,-1,+5,-5这四个数.
∴a+b+c+d=0.
说明:解例3的理论依据是:
几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
例4 填空题:
(1)(-0.001)×(-0.01)×(-0.1)×(-100)=_____;
分析:(1)是4个不为0的数相乘,0.01×100=1,要注意小数点的位置;
(2)是4个数相乘,其中有一个因数是0;
三个分数的分子均为7,所以同时正用又逆用乘法分配律才是最佳的解题方法.
解:(1)(-0.001)×(-0.01)×(-0.1)×(-100)=0.0001
例5
分析:这是5个非0的数相乘,其中有3个负因数,应当先确定积的符号,然后把绝对值相乘.绝对值相乘时,要注意运用乘法的交换律和结合律,此题把小数化为分数计算较简便.
说明:几个不为0的数相乘时,确定积的符号是第一步,要使计算简便,关键在绝对值的计算.求积的绝对值时要注意运用乘法交换律和结合律;当因数是小数时,一般要化为分数再相乘;当因数是带分数时,要化为假分数再相乘;在化简时,能约分的要约分.
例6 计算
分析:此题若直接相乘很麻烦,根据它的特点:可以把被乘数拆成两项,然后用乘法分配律计算。
解:
注意 (1)此题利用分解思想把拆成,然后运用分配律,可使运算简便,这是一个重要的方法技巧。
(2)不要漏项,即可把乘数与括号内的每一项都相乘。
(3)相乘时,符号不要弄错。