第八节 有理数的乘法　

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怎样学好有理数

湖南新宁县金石中学 李细妹

　　从小学到初中，由算术到代数，是中学生学习进程中一个新的转折点．代数第二章“有理数的主要内容是有理数的概念和有理数的运算．”正确理解概念，熟练掌握运算是学好这一章的关键和主要标志．

　　一、要正确理解有理数的几个概念

　　有理数一章的主要概念有：正数和负数、相反数、倒数、绝对值、数轴．此外还有两数同号(异号)、非负数、非负整数、奇偶数，以及乘方(幂)、近似数与有效数字等概念．正确理解上述概念，是学好代数的基础．不要死背概念．要做到真正理解，才会真正运用．

　　1．要正确理解与运用相反数、倒数和绝对值三个重要概念

　　第一，掌握定义，并能根据定义正确而迅速地回答诸如下述问题：

　　例1 求下列各数的相反数、倒数与绝对值：

　　

　　注意零没有倒数，a与－b是否有倒数要进行讨论．

　　第二，掌握定义的其它描述形式．诸如

　　设a，b是两个有理数，那么a，b互为相反数的条件是a＋b=0(即a=－b)，ab互为倒数的条件是a×b=1．

　　第三，根据定义，掌握相反数、倒数、绝对值的一些基本性质，如

　　(1)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是其自身．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．

　　(2)正数或者负数的绝对值是正数，零的绝对值是零．因此：

　　①任何一个有理数的绝对值是非负数，如果用a表示有理数，那么必有|a|＞0或|a|=0，即|a|≥0．

　　②非零的有理数的绝对值一定是正数，即当a≠0时，有|a|＞0．

　　第四，善于利用数轴，直观、形象地理解相反数与绝对值这两个概念，并能熟练地对有理数大小进行比较．

　　2．要理解两数同号，两数异号的准确含义

　　“两数同号”就是两数同时为正数，或者同时为负数，“两数异号”就是有一个为正数，另一个为负数．

　　ab两数同号的条件是a·b＞0，它包含两种情况：

　　①a＞0且b＞0，

　　②a＜0且b＜0．

　　两数异号的条件是a·b＜0，它也包含两种情况：

　　①a＞0且b＜0，

　　②a＜0且b＞0．

　　3．要注意某些概念的扩充

　　初一学生学习数，范围由非负有理数(正有理数和零)扩充到有理数，要注意小学中某些概念的相应的扩充．如奇数和偶数这两个概念，在小学，偶数可表示为2n(n表示正整数)．奇数可表示为2n－1(n表示正整数)．在整数范围有：正整数包括(正)奇数和(正)偶数．中学里的整数，仍包括奇数和偶数，不过要注意：这里的奇数(2n－1)包含正奇数(1，2，3，…)与负奇数(－1，－2，－3…)两类．偶数(2n)包含正偶数(2，4，6，…)，负偶数(－2，－4，－6，…)与零三类．

　　二、要熟练掌握有理数的运算

　　中学里的有理数运算跟小学里学过的数的运算不同，它不仅要求出数值的大小，而且还要确定结果的符号，掌握好有理数的运算，做到熟练而准确，是学习代数这一章的中心任务，它是学好整个代数的基础．这里关键有两条：一是掌握有理数的运算法则，二是掌握有理数的运算律．

　　要掌握好加、减、乘、除与乘方五种运算法则．有理数的加法法则是按两数同号、两数异号、有零三种情况分别规定的，其中异号两数相加，是难点所在，要提醒学生格外留心．要解决这个难点，就必须掌握好绝对值的概念．此外，特别是省略加号的代数和，要有正确的理解和合理运算．在进行有理数运算时，运算规律是不可少的．

　　例2 计算：11－39.5＋10－2.5－4＋19

　　解：原式=11+10＋19－39.5－2.5－4 (加法交换律)

　　　　=[(11＋19)＋10]＋[(－39.5－2.5)－4] (加法结合律，减法法则)

　　　　=40－46 (加法法则)

　　　　=－6．

　　在计算这一类题时，初学者应在每一步的后面注明运算依据，这对学习是大有好处的．对于含有加、减、乘、除和乘方混合运算的题目，要注意运算顺序．先“乘方”，再乘除，最后算加减．

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