第二节 方程和它的解
典型例题
例1 判断下列各式是不是方程,如果是指出已知数和未知数;如果不是,说明为什么?
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6)
分析: 判断一个式子是不是方程,主要根据方程的概念;一是等式,二是含有未知数,二者缺一不可。
解:(1)是。3,-2,0是已知数, 是未知数。
(2)是:-1,0是已知数, 、 是未知数。
(3)不是。因为它不含未知数。
(4)是。-1,0是已知数, 、 是未知数。
(5)不是。因为它不是等式。
(6)是。-1,3,2是已知数, 是未知数。
说明: 未知数的系数如果是1,这个省略是1也可看作已知数,但可以不说,已知数应该包括它的符号在内。
例2 根据下列条件列方程:
(l)某数的3倍比7大2;
(2)某数的 比这个数小1;
(3)某数与3的和是这个数平方的2倍;
(4)某数的2倍加上9是这个数的3倍;
(5)某数的4倍与3的差比这个数多1.
分析:要列方程,首先要认真审题,明确未知数,并设未知数,然后根据题中的条件,找出相等关系,列出方程,
解:(1)设某数为 ,则有: ;或 ;或 ;
(2)设某数为 ,则有: ;或 ;或 ;
(3)设某数为 ,则有: ;或 ;或 ;
(4)设某数为 ,则有: ;或 ;或 ;
(5)设某数为 ,则有 ;或 ;或
说明:此题条件中的大(小)、多(少)、和(差)、倍等实际上说的是相等关系:
大数-小数=差;
小数十差=大数;
大数一差=小数等.
例3 检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解:
(1)
(2)
(3)
(4)
分析:检验一个数值是否是一个方程的解,方法是将数值分别代入方程的左边和右边计算后,如果左边、右边,那么此数值是方程的解;如果左边≠右边,那么此数值不是方程的解.切记不可将数值直接代入方程.
解:(l)把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边≠右边,
∴ 不是方程 的解.
把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边=右边,
∴ 是方程 的解.
(2)把 分别代入方程的左边和右边;得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边≠右边,
∴ 不是方程 的解.
把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边≠右边,
∴ 不是方程 的解.
(3)把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边
右边
∵ 左边≠右边
∴ 不是方程 的解.
把边 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边=右边,
∴ 是方程 的解.
把分别 是代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边=右边,
∴ 是方程 的解.
(4)把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边=右边,
∴ 是方程 的解.
把 分别代入方程的左边和右边,得:
左边 ,
右边 ,
∵ 左边=右边,
∴ 是方程 的解.
例4 己知 是方程 的解,求m的值.
分析:欲求m的值,由己知条件 是方程 的解,也就是将 代入方程后左、右两边的值相等,即左边 ,右边 。∵ 左边=右边,∴ ,即可求出m.
解:∵ 是方程 的解,
∴ 将 代入方程得:
∴