第四节 一元一次方程的应用

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行程问题的解法

　　在代数中，行程问题是指有关匀速运动的应用题．这类问题可分为：

　　①基本行程问题；

　　②相遇问题；

　　③追及问题；

　　④航行问题；

　　⑤环行问题等等。

　　但无论怎样变化，都离不开匀速运动的基本关系式：路程＝速度×时间，以及由此推导出来的： ， 。现将这几类应用题的解法，通过举例介绍如下：

　　一、基本行程问题．基本行程问题的特点是：同一人(或物体)在去时与回时的运动过程中，改变了路程、速度或时间；也可以是两人(或两物体)在同一路程行进中，由于速度不同而导致到达的时间不同．解这类问题时，要抓住总路程或总时间不变，直接运用路程、速度与时间三者之间的关系式．

　　例1 某人从甲村去乙村，在乙村停留1小时后又绕道去丙村，再停留半小时返回甲村，去时的速度是5千米/时，回时的速度是4千米/时，来回包括停留时间共用去6小时30分钟，回来因绕道多走了2千米，求去时所走的路程．

　　解：设去时的路程为x千米，则回时的路程是(x+2)千米．依题意，得方程：

　　　

　　　解之得 x=10(千米)

　　答：去时所走的路程为10千米．

　　二、相遇问题．相遇问题的特点是：两个运动着的人(或物体)从两地沿同一路线相向而行，最终相遇．解这类问题时，要抓住甲、乙同时出发至相遇时的基本等量关系：(1)甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程，即：甲与乙的速度和×相遇时间=两地间的路程；(2)同时出发到相遇甲与乙所用的时间相等．

　　例2 甲、乙两城相距100千米，摩托车和自行车同时从两城出发，相向而行，2.5小时两车相遇，自行车的速度是摩托车的 ，求摩托车和自行车的速度。

　　解：设摩托车的速度是每小时x千米，则自行车的速度是每小时 千米。依题意，得方程：

　　　

　　答 摩托车的速度是30千米/时，自行车的速度是10千米/时．

　　三、追及问题．追及问题的特点是：两人(或两物体)同时沿同一路线，同一方向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者．解这类问题要抓住基本等量关系：(1)快者行的路程-慢者行的路程=两者间的距离，即：两者的速度差×追及时间=两者间的距离；(2)从开始追赶到追及时，快者与慢者所用的时间相等．

　　例3 东西两村相距20千米，一人骑自行车从西村出发往东走，每小时走13千米，同时另一人步行从东村出发，沿同一条路也往东走，每小时走5千米，经过几小时后，骑自行车的人可以追上步行的人？

　　解 设x小时后，骑自行车的人追上步行的人．依题意，得方程

　　　(13-5)x=20

　　　解之得 x=2.5(小时)

　　答 经2.5小时，骑自行车的人可以追上步行的人．

　　四、航行问题．航行问题是一种特殊的行程问题，它的特殊性在于要考虑水速对船速的影响，其基本等量关系是：(1)船顺流速度=船的速度+水流速度；(2)船逆流速度=船的速度-水流速度．

　　例4 一船在甲乙两地之间航行，顺流行驶要4小时，逆流行驶要5小时，已知水流的速度为每小时2千米，求这两地之间的距离．

　　解 设这两地间的距离为x千米．则依题意，得方程：

　　　

　　　解之得 x=80(千米)

　　答 这两地间的距离为80千米．

　　五、环行问题．环行问题即封闭路线上的行程问题．如果同时从同一地点出发，到第一次相遇，有两种情况：同向环行类似追及问题，其基本等量关系是：快者走的路程-慢者走的路程=环形周长；反向环行类似相遇问题，其基本等量关系是：快者走的路程+慢者走的路程=环形周长．

　　例5 一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？

　　解：设x分钟后两人再相遇．依题意可得方程

　　　550x-250x＝400

　　　

　　答：1分20秒后，他们再相遇．

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