第十节 多项式除以单项式

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如何进行多项式除以多项式的运算

　　多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：

　　例1  计算

　　规范解法

　　　　

　　∴ 

　　解法步骤说明：

　　（1）先把被除式 与除式 分别按字母的降幂排列好．

　　（2）将被除式 的第一项 除以除式 的第一项 ，得 ，这就是商的第一项．

　　（3）以商的第一项 与除式 相乘，得 ，写在 的下面．

　　（4）从 减去 ，得差 ，写在下面，就是被除式去掉 后的一部分．

　　（5）再用 的第一项 除以除式的第一项 ，得 ，这是商的第二项，写在第一项 的后面，写成代数和的形式．

　　（6）以商式的第二项5与除式 相乘，得 ，写在上述的差 的下面．

　　（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

　　（8）写出运算结果，

　　例2  计算 ．

　　规范解法

　　　　

　　∴ 

　　 ……………………………余 ．

　　注   ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．

　　另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

　　

　　∴ 

　　 ……………………………余 ．

　　8．什么是综合除法？

　　由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．

　　如：计算 ．

　　

　　因为除法只对系数进行，和 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．

　　还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：

　　

　　将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

　　多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．

　　例1  用综合除法求 除以 的商式和余式．

　　规范解法

　　　　

　　∴  商式 ，余式＝10．

　　例2  用综合除法证明 能被 整除．

　　规范证法  这里 ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

　　因余数是0，所以 能被 整除．

　　当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．

　　例3  求 除以 的商式和余数．

　　规范解法  把 除以2，化为 ，用综合除法．

　　但是，商式 ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．

　　∴  商式 ，余数 ．

　　为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．

　　用 除以 ，得商式 ，余数为 ，即

　　∴

　　　 ．

　　即  除以 的商式 ，余数仍为 ．

　　

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应用多项式除以单项式的运算法则时，应注意的问题是什么

　　（1）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项；

　　（2）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只有抓住关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算；

　　（3）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。

　　例1  计算：

　　（1） ；

　　（2） 。

　　思路启迪：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果。其中第（2）小题中应将多项式 看成一个单项式来计算。

　　规范解法

　　（1）原式

　　　　 ；

　　（2）原式

　　　　

　　　　 。

　　例2  计算：

　　（1） ；

　　（2） 。

　　规范解法（1）原式

　　　　

　　　　 ；

　　（2）原式

　　　　 。

　　点评：第（1）题不能先用 去除各项，应先对括号内进行化简。第（2）题体现了对知识的综合运用。

　　例3 （1）已知一个多项式与单项式 的积为 ，求这个多项式；

　　（2）已知一个多项式除以多项式 所得的商式是 ，余式是 ，求这个多项式。

　　思路启迪：利用乘法和除法互为逆运算的关系求解。

　　规范解法（1）根据题意，所求多项式为

　　 。

　　（2）根据题意，所求多项式为：

　　

　　注此题求解的根据是“被除式=除式×商式＋余式”。