第四节 平行线及平行公理

典型例题

　　例1 下列各题是否正确，如果有错误应怎样改正

　　(1)不相交的两条直线叫做平行线；

　　(2)过相交直线AB、CD外一点E，作直线EF平行于AB且平行于CD；

　　(3)直线a∥b，过直线a外的一点P，作PQ_⊥a，那么PQ_⊥b.

　　分析：（1）不对，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；

　　（2）不对．如果EF存在，我们给相交直线AB、CD的交点起名字叫P，那么过EF外一点P存在AB、CD两条直线与EF平行．这显然不满足平行公理．

　　只能这样作图：过相交直线AB、CD外一点E，作作直线EF平行于AB（或作直线EF平行于CD）．二者只能居其一．

　　（3）正确．如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．

　　说明：关于平行线的定义切莫忽视在“同一平面内”这个前提条件，类似于（2）题这样的作图以后经常遇到，只能以平行公理为依据来作，不能想当然．

　　例2.对直线a、b、c，若a∥b，c与a相交，那么c与b是什么位置关系？并说明理由．

　　分析：由于已知条件没有交代a、b、c是否在同一平面内，所以必须分下列两种情况讨论：（1）c在a和b所在的平面内；

　　则c与b的位置关系只能有两种可能，即平行或相交．若c∥b，由已知a∥b，根据平行公理即可得a∥c，这显然与已知条件c与a相交不符合，所以c与b相交；

　　（2）c不在a和b所在的平面内（即考虑空间里直线c和b的位置关系）

　　此时c与b异面

　　说明：本题目要提醒学生平面与空间的差异，同时体现了分类的数学思想方法．

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