第九节 命题

教学设计示例1

　　教学目标

　　1．使学生对命题、真命题、假命题等概念有所理解．

　　2．使学生理解几何命题的组成，能够区分命题的题设和结论两部分，并能将命题改写成“如果……，那么……”的形式．

　　3．会判断一些命题的真假．

　　教学重点和难点

　　本节的重点和难点是：找出一个命题的题设和结论．

　　教学过程设计

　　一、分析语句，理解命题

　　1．教师让学生随意说一句完整的话，每个小组可以派一名同学说，如：

　　(1)我是中国人．

　　(2)我家住在北京．

　　(3)你吃饭了吗？

　　(4)两条直线平行，内错角相等．

　　(5)画一个45°的角．

　　(6)平角与周角一定不相等．

　　2．找出哪些是判断某一件事情的句子？

　　学生答：(1)，(2)，(4)，(6)．

　　3．教师给出命题的概念，并举例．

　　命题：判断一件事情的句子，叫做命题，分析(3)，(5)为什么不是命题．

　　教师分析以上命题中，每句话都判断什么事情．所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．(不要让说过的再说)

　　如：

　　(1)对顶角相等．

　　(2)等角的余角相等．

　　(3)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线．

　　(4)如果 a＞0，b＞0，那么a+b＞0．

　　(5)当a＞0时，|a|=a．

　　(6)小于直角的角一定是锐角．

　　在学生举例的基础上，教师有意说出以下两个例子，并问这是不是命题．

　　(7)a＞0，b＞0，a+b＝0．

　　(8)2与3的和是4．

　　有些学生可能给与否定，这时教师再与学生共同回忆命题的定义，加以肯定，先不要给出假命题的概念，而是从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

　　4．分析命题的构成，改写命题的形式．

　　例 两条直线平行，同位角相等．

　　(l)分析此命题的构成，前一部分是后一部分成立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论．已知事项为“题设”，由已知推出的事项为“结论”．

　　(2)改写命题的形式．

　　由于题设是条件，可以写成“如果……”的形式，结论写成“那么……”的形式，所以上述命题可以改写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等．”

　　请同学们将下列命题写成“如果……，那么……”的形式，例：

　　①对顶角相等．

　　如果两个角是对顶角，那么它们相等．

　　②两条直线平行，内错角相等．

　　如果两条直线平行，那么内错角相等．

　　③等角的补角相等．

　　如果两个角是等角，那么它们的补角相等．(注意不仅仅限于两个角，如果多个角相等，它们的补角也相等．)

　　以上三个命题的改写由学生进行，对(2)要更改为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”

　　提示学生注意：题设的条件要全面、准确．如果条件不止一个时，要一一列出．

　　如：两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，可改写为：

　　“如果两条直线相交，而且有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．”

　　二、分析命题，理解真、假命题

　　1．让学生分析两个命题的不同之处．

　　(l)若a＞0，b＞0，则a+b＞0．

　　(2)若a＞0，b＞0，则a+b＜0．

　　相同之处：都是命题．为什么？都是对a＞0，b＞0时，a+b的和的正负，做出判断，都有题设和结论．

　　不同之处：(1)中的结论是正确的，(2)中的结论是错误的．

　　教师及时指出：同学们发现了命题的两种情况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．

　　2．给出真、假命题定义．

　　真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题．

　　假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．

　　注意：

　　(1)真命题中的“一定成立”不能有一个例外，如命题：“a≥0，b＞0，则ab＞0”．显然当a=0时，ab＞0不成立，所以该题是假命题，不是真命题．

　　(2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”，如：“a的倒数一定是”，显然当a=0时命题不正确，所以也是假命题。

　　(3)注意命题与假命题的区别．如：“延长直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．

　　(4)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题．

　　3．运用概念，判断真假命题．

　　例 请判断以下命题的真假．

　　(1)若ab＞0，则a＞0，b＞0．

　　(2)两条直线相交，只有一个交点．

　　(3)如果n是整数，那么2n是偶数．

　　(4)如果两个角不是对顶角，那么它们不相等．

　　(5)直角是平角的一半．

　　解：(l)(4)都是假命题，(2)(3)(5)是真命题．

　　4．介绍一个不辨真伪的命题．

　　“每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想)

　　我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离“1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真假还不能做最好的判定．

　　5．怎样辨别一个命题的真假．

　　(l)实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．

　　(2)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．

　　(3)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

　　三、总结

　　师生共同回忆本节的学习内容．

　　1．什么叫命题？真命题？假命题？

　　2．命题是由哪两部分构成的？

　　3．怎样将命题写成“如果……，那么……”的形式．

　　4．初步会判断真假命题．

　　教师提示应注意的问题：

　　1．命题与真、假命题的关系．

　　2．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．

　　3．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面．

　　4．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．

　　四、作业

　　1．选用课本习题．2．以下供参选用．

　　(1)指出下列语句中的命题．

　　①我爱祖国．

　　②直线没有端点．

　　③作∠AOB的平分线OE．

　　④两条直线平行，一定没有交点．

　　⑤能被5整除的数，末位一定是0．

　　⑥奇数不能被2整除．

　　⑦学习几何不难．

　　(2)找出下列各句中的真命题．

　　①若a=b，则a²=b²．

　　②连结A，B两点，得到线段AB．

　　③不是正数，就不会大于零．

　　④90°的角一定是直角．

　　⑤凡是相等的角都是直角．

　　(3)将下列命题写成“如果……，那么……”的形式．

　　①两条直线平行，同旁内角互补．

　　②若a²=b²，则a=b．

　　③同号两数相加，符号不变．

　　④偶数都能被2整除．

　　⑤两个单项式的和是多项式．

　　

教学设计示例2

　　教学目标

　　1．使学生了解命题、真命题和假命题等概念．

　　2．使学生了解几何命题是由“题设”和“结论”两部分组成．能够初步区分命题的题设和结论，或把命题改写成“如果……，那么……”的形式

　　重点和难点

　　分清命题的题设和结论，既是教学的重点又是教学的难点．

　　教学过程

　　一、引入

　　请大家随意说出一些语句，教师把它们写在黑板上．如：

　　(1)对顶角相等吗？

　　(2)作一条线段AB=2cm；

　　(3)我爱初二(1)班；

　　(4)两直线平行，同位角相等；

　　(5)相等的两个角，一定是对顶角．

　　二、新课

　　问：上述语句中，哪些是判断一件事情的句子？

　　答：(3)、(4)、(5)是判断一件事情的句子．

　　教师指出：判断是对事物进行肯定或否定的一种思维形式，判断一件事情的句子，叫做命题．数学课堂里，只研究数学命题，如(4)、(5)．

　　例1 请大家说出若干个(数学)命题，再分析一下，每一个命题由几部分组成？

　　(1)等角的补角相等；

　　(2)有理数一定是自然数；

　　(3)内错角相等两直线平行；

　　(4)如果a是有理数，那么a²＞a；

　　(5)每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和(即著名的哥德巴赫猜想)．

　　教师启发学生得出：一个命题，由题设和结论两部分组成，都可以写成“如果……，那么……”的形式，也可以简称为“若A则B”．

　　练习：把上述(1)至(5)，都按“如果……，那么……”的形式，表述一遍．

　　例2 在例1的(1)至(5)个命题中，所作的判断是否都正确？怎么检验各个命题的真伪？

　　(l)“如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．”是正确的命题，已经由补角的定义得到证明．

　　(2)“如果是有理数，那么它一定是自然数”。是不正确的命题（判断），反例如是有理数但不是自然数。

　　(3)“如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．”是正确的命题，已证．

　　(4)“如果a是有理数，那么a²＞a．”是不正确的命题，反例如a=1，a²=a．

　　(5)“如果是一个大于4的偶数，那么它可以表示成两个质数之和．”这个命题，至今没人举出一个反例，说明它不正确；也没有人完全证明它正确．我国著名数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”，即已经证明了“ 1+2”，离“ 1+1”这颗数学王冠上的珍珠，只差“一步之遥”．这是目前世界上对这个命题的真伪的判定，所能达到的最好结果．

　　教师帮助学生归纳：命题既然是一个判断，就有判断是否正确的区别．

　　真命题---如果题设成立那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．

　　假命题---如果题设成立，不能保证结论总是成立，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．注意：不是命题与假命题的区别！

　　怎样判断一个命题的真假？检验真理的唯一标准是实践．数学中，判断一个命题是真命题，要经过证明(或以公理形式，即由实践证明的形式出现)；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

　　例3 试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．

　　(1)对顶角相等；

　　(2)两直线平行，同位角相等；

　　(3)若a=0，则ab=0；

　　(4)两条直线不平行，则一定相交；

　　(5)凡相等的角都是直角．

　　解：

　　(l)对顶角相等(真)；

　　相等的角是对顶角(假)；

　　不是对顶角不相等(假)；

　　不相等的角不是对顶角(真)．

　　(2)两直线平行，同位角相等(真)；

　　同位角相等，两直线平行(真)；

　　两直线不平行，同位角不相等(真)；

　　同位角不相等，两直线不平行(真)．

　　(3)若a=0，则ab=0(真)；

　　若ab=0，则a=0(假)；

　　若a≠0，则ab≠0(假)；

　　若ab≠0，则a≠0(真)．

　　(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；

　　两条直线相交，则一定不平行(真)；

　　两条直线平行，则一定不相交(真)；

　　两条直线不相交，则一定平行(假)．

　　(注)本小题如果添上“在同一平面内”的大前提条件，那么假命题将变为真命题．

　　(5)凡相等的角都是直角(假)；

　　凡直角都相等(真)；

　　凡不相等的角不都是直角(真)；

　　凡不都是直角的角不相等(假)．

　　说明：本例，尤其是第(5)小题，视学生接受情况，教师灵活掌握．讲还是不讲，讲到什么程度，介不介绍四种命题(原、逆、否、逆否)，都有较大的伸缩性．

　　小结：

　　命题---判断一件事情的句子；

　　命题的结构---;如果(题设)……，那么(结论)……；

　　命题的真假---正确或错误的判断；

　　四种命题---原、逆、否、逆否．

　　(用投影片显示或挂小黑板)

　　三、作业

　　1．在下列语句中，指出哪些是命题，哪些不是命题．如果是命题，指出命题的真假，并仿照例3说出一些新的命题来．

　　(l)如果AB⊥CD于O，那么∠AOC=90°；

　　(2)取线段AB的中点C；

　　(3)两条直线相交，有且只有一个交点；

　　(4)一个平角的度数是180°；

　　(5)若a=b，则a²=b²；

　　(6)如果一个数的末位数字是0，那么它一定能够被5整除；

　　(7)同角的余角相等；

　　(8)周角的一半等于直角．

　　2．选作题

　　判断命题“如果n是自然数，那么n²+n+17是质数”的真假．