第二节 分式的基本性质

典型例题

　　【例4】  不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：

　　（1）；　（2）；　（3）；　（4）．

　　分析  根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．

　　解：（1）同时改变分子和分式的符号，得

；

　　（2）同时改变分母和分式的符号，得

　　；

　　（3）先确定是分母的符号，再变号，得

　　；

　　（4）先确定是分子的符号，然后变号，得

　　．

　　点拨  1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成或；

　　2．对于（4）题，也可处理成的形式．

　　【例5】 不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．

　　分析  此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是5，而5和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．

　　解：．

　　点拨 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．

　　2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．

　　【例6】 不改变分式的值，把分式中分子、分母的多项式各项系数化成整数，并使最高次项的系数为正．

　　分析  先把分式中小数系数化成分数，再寻找分数系数分母的最小公倍数．

　　解：

　　

　　．

　　点拨  为方便确定最高次项系数的符号，一般按未知数的降幂排列．

　　【例7】  判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：

　　（1）；　　（2）；

　　（3）；　（4）．

　　分析  约分变形的前提是分子、分母有公因式．

　　解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．

　　（1）分式的分子和分母分别是一个整体，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．

　　（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．

　　（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：

　　

　　

　　（4）此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式可得．

　　点拨  1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；

　　2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当，时，．（2）、（3）题同理．

　　【例8】  化简下列各式：

　　（1）；　（2）；　（3）

　　分析  化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　点拨  1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．

　　2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．

　　3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．

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