第三节 立方根
典型例题
例1.下列说法对不对,为什么?
(1)64的立方根是 ; (2) 无意义;
(3) 的平方根是 ; (4) 和 相等;
(5) 的立方根是 ; (6)零的平方根、算术平方根、立方根都等于零.
分析:立方根与平方根的性质有很大的区别,要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.
解:(1)不对.∵正数有一个正的立方根.
∴64的立方根是4,即 ;
(2)不对.∵负数有一个负的立方根,
∴ 有意义,且 ;
(3)不对.∵一个正数有两个平方根,它们互为相反数,
∴ 的平方根是 ;
(4)对.∵ , ,
∴ .
一般地: ;
(5)对.∵ ,∴ 的立方根是 .
(6)对.因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零.
例2.求下列各数的立方根:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解:(1)
的立方根是 .
(2)
的立方根是 .
(3)
的立方根是 .
(4)0的立方根还是0.
分析:立方根与平方根虽然都是开方运算,但与平方根不同,因为任何数都有立方根,而且唯一确定.
例3.求下列各式的值:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
分析:求立方根首先将根号下的数作一下整理,再进行求解.
解:(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
小结:注意计算过程中的利用立方根的性质进行符号转换.
例4 已知 若 求 .
分析:利用已知条件与所求解简的关系找出联系.
解:
小结:当立方根的小数点每移动两位时,则被开方数的小数点朝相同的方向移动它位数的3倍,即移动六位.
例5.求下列各式中的 :
(1) (2) ;
(3) ; (4) .
分析:将方程整理转为求立方根或平方根的问题.
解:(1)∵ ,∴ ,
即 ,∴ ,即 ;
(2)∵ ,∴ ,即 ,∴ ;
(3)∵ ,∴ ,∴ ,即 ;
(4)∵ ,∴ ,∴ ,即 .
小结:求过程中注意立方根和平方根的区别,最终结果解个数的不同.