第八节 直角三角形全等的判定

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再述“三角形”一章的编写思路

李慧君

　　三角形是最常见的几何图形之一，在日常生活和生产中到处可见。在几何里，三角形是多边形中最简单的一种，任何复杂的多边形的问题，都可以通过分割，分解成若干个三角形，运用三角形的知识来解决；三角形的许多重要性质，是进一步研究其他几何图形的基础，根据这些性质，可以推出许多有价值的几何结论，所以三角形这一章知识，是学生必须掌握的基础知识。另外，在本套教科书中，三角形这一章的教学负担着培养学生逻辑推理能力的任务，这种能力是学生必须具备的基本能力，而且在本章学习中获得的这种能力的程度，直接影响后续课程学习的质量。所以，三角形一章，对学生以后的学习和工作，对几何后几章的教学都是非常重要的，它是初中几何教学的重点。为了帮助广大教师理解和掌握本章教材，下面介绍编写时的一些想法和做法。

　　一、 内容和要求

　　（一） 本章的内容和重点、难点

　　本章的主要内容包括：一般三角形的概念、性质；全等三角形的定义、性质、判定；等腰三角形的性质、判定及直角三角形的性质。另外，利用全等三角形的性质推证了角平分线、线段的垂直平分线、对称图形的重要性质，并介绍了尺规作图的简单知识。

　　在这些内容中，三角形的性质，包括等腰三角形和直角三角形的性质是这一章的重点，它们在理论上和实践中都占有重要地位，这都要求学生切实掌握。全等三角形的性质与判定，是证明线段相等和角相等的重要工具，是学习后续课程的必要基础，这一部分也是本章的重点。

　　掌握几何里的推理论证，需要有一个过程，尤其是当学的定理逐渐增多以后，要证明某个结论，常常有多种途径可供选择。如何根据已知条件选择恰当的定理作为推理的依据进行证明，灵活性较强，这是本章教学的难点。为解决这个难点，教科书一方面做了精心安排，力求使推理论证的训练由浅入深，由简到繁，循序渐进；另一方面要在教学中结合学生的实际提出恰当的教学要求，不要盲目加大题目的难度，同时注意及时发现学生的困难，加强个别辅导，以使学生的困难得以及时解决，以免影响后续课程的学习。

　　（二） 教学要求

　　本章中出现的概念、性质、方法等，在教科书中所处的地位和所起的作用是不同的。教科书根据不同情况，分别提出了不同的要求。

　　1. 理解三角形，三角形的顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高的概念；了解全等、全等三角形的概念；结合直角三角形性质的学习，理解余角的概念，了解逆命题、逆定理的概念；了解轴对称和轴对称图形的概念。

　　2. 理解一般三角形边之间的关系，掌握三角形内角和定理；掌握全等三角形的性质和判定方法，了解三角形的稳定性；掌握等腰三角形和等边三角形的几个重要性质，掌握直角三角形全等的判定方法，掌握勾股定理；掌握角平分线和线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；了解轴对称的简单性质。

　　3. 初步掌握根据命题的题设和有关定理、公理、定理推证命题的结论；会按角的大小和边长的关系对三角形进行分类；能用各种工具画出学过的几何图形，能利用尺规完成一些基本作图，了解作图的步骤，会写简单尺规作图题的已知、求作和作法。

　　4. 能运用学过的定理解决简单的证明题、计算题和画图的问题。

　　5. 结合知识教学，使学生进一步了解运动、变换思想，并通过观察、变换图形获得美的感受

　　二、 本章编写的特点

　　（一） 降低理论深度，控制教学要求

　　1. 进一步扩大了公理。把原教科书中判定两个三角形全等的“边边边”定理和判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，作为公理处理。通过画图、实验，使学生确信它们是正确的，直观承认它们，在这个基础上，把重点放在运用这些公理去推证其他图形的性质上。

　　2. 教学大纲中关于逆命题、逆定理的概念的教学要求不高，教科书重点介绍了题设和结论最简单的命题的逆命题的构造方法。等腰三角形性质定理的推论，即等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一，它的逆命题是一个真命题，它也可以作为判定等腰三角形的这个判定定理。有些教师为了证明某些题目的需要，在教学中补充了这个定理，这是不可取的。

　　3. 直角三角形的性质，教科书没有集中编排。在三角形内角和定理之后，作为推论，给出了直角三角形两个锐角互余的性质；在等腰三角形的性质和判定以后，给出了“直角三角形中，30^o角所对的边等于斜边的一半”的性质，它的逆定理删掉了；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这条性质移到了“四边形”一章。这样处理有两点想法。一是简化内容，突出重点，突出直角三角形重要的内容——勾股定理；二是考虑它们在相关知识的教学中，证明起来更容易，可节省教学时间。例如“直角三角形中，30^o角所对的边等于斜边的一半”，作为等腰三角形判定定理的推论，学生很容易理解，而且在学过锐角三角函数以后，对于这个性质的应用会更容易些。

　　4. 控制习题的难度。这次编写时，将原教科书中较难的题，或移至B组题中，或删掉了，另外增加了数量较多的基本练习题，以保证学生达到大纲规定的基本要求。

　　（二） 精心设计推理训练的步骤和进程

　　推理论证的训练，需要循序渐进，又要与教学内容配合。结合本章各大章节的教学内容，教科书在不同阶段安排了不同的训练内容，提出了不同阶段的要求。

　　在第一册里，学生已学过一些推理知识，会做一两步的推理，但没有要求学生独立完成几何命题的证明。第二册本应从第一大节开始进行完整的证明训练。但这一大节两个定理的证明都不适合作为“证明”的范例使用，所以教科书暂不安排“证明”训练，把训练的重点放在用代数方法解几何题上，在代数法解题过程中，强调说明，为下一大节训练做准备。

　　在全等三角形这一大节中，由于运用公理证明两个三角形全等，以及进一步证明线段或角相等的推理过程简化了，证明过程的书写容易规范化，便于学生模仿，所以教科书把训练学生学习书写证明过程的任务放在这里。开始时，要求得死板些，严格按书上例题的样子写，待学生入门以后，在后面各大节中逐步放开，允许适当的灵活或简化。

　　第三大节重点训练学生掌握作图常用的语言，这对于今后复杂证明过程的表述非常有帮助。在前面已有了一些知识积累的情况下（包括第一册中训练方面的积累），要求学生会写简单作图题中的“作法”，同时掌握尺规作图的实际操作方法。

　　第四大节里重点训练学生学会分析证题思路。因为在这个阶段，学过的定理已经比较多了，学生在做证明题时，往往不知道选择哪些定理作为根据，同时证明过程的表达又比较灵活，学生普遍会感到困难。这时，要教给学生用“逆推法”去寻找证明的途径，然后按照相反的思路写出证明过程。在这一大节里，还要求学生基本上掌握用文字叙述的几何命题的证明。

　　第五大节中勾股定理的证明使用了拼图法，并与代数知识紧密结合，书写表达更为灵活，所以这一节对学生的要求又有提高。

　　这样的安排是从大多数学生的认知水平和规律出发的，但学生的情况是有差别的，教学中可以根据情况灵活处理。要注意，不论怎样处理，都应遵循循序渐进的原则，不能不顾学生的实际，随意提高要求，或从升学的要求考虑，加快进度。

　　 （三） 注意数学思想方法的教学

　　按照全套教材的设计思想，在本章的编写中，注意进行数学思想方法的教学。除有计划地安排逻辑推理方法的训练外，还结合不同内容的特点，对学生进行了以下一些数学思想和方法的训练。

　　1. 化归思想。这是一个重要的科学思想，在数学中得到了广泛应用。本章结合对证明思路的分析，使学生会通过将未知问题转化为已知问题，将复杂问题转达化为简单问题，从而找到解决问题的途径。

　　2. 结合三角形分类的教学，使学生进一步明确分类时要用同一个标准，将被分类的集合中的元素不重不漏地分在不同的子集中，分类的标准不同，会得到不同的子集。

　　3. 在运用三角形内角和定理、勾股定理解决证明题和计算题时，向学生渗透形数结合的思想，增强学生综合运用形和数的知识来解决问题的意识。

　　4. 结合图形全等和对称的教学，渗透运动变换思想，使学生逐步学会从变换的角度认识几何图形。

　　三、 教学中要注意的问题

　　（一） 及时总结复习，是巩固知识和加深理解知识的重要方法

　　三角形一章内容多，课时也多，教学时间长，全章内容要讲到二年级第二个学期的第二周末，这就给本章的复习和小结提出了新的课题。为解决这个问题，教科书在每一大节最后一节课都尽量安排以例题教学为主的内容，并且在可能的情况下，选择带有综合性的题目，希望通过例题的教学，或在例题教学前，对所学知识进行复习和小结。在教学中一方面要充分利用教科书中的例题，另一方面根据实际情况布置学生自我小结，使学过的知识得到阶段性的巩固和提高。

　　在全章教学结束时，可以按教科书中小结与复习的做法进行知识总结，也可以从另外的角度，按问题的性质把学过的知识串联起来，这样会使学生灵活地掌握知识。

　　（二） 循序渐进，因材施教

　　1. 教科书在第一册中渗透了推理论证思想，可以做一两步推理。但学生的程度有差别，在本章教学前要摸清学生的情况，以便根据学生的基础，有针对性地安排本章训练。

　　2. 教科书在推理训练方面做了较细致的安排，目的是使训练能做到循序渐进渐进，教学时要注意两点：一是要加强作业的批改，尤其是开始阶段，学生往往心里明白，不会有条有理地表达，不能按逻辑顺序写出来，为此要及时指导，特别是个别辅导，开始阶段投入的时间、精力多些，后面会顺利得多；二是学过等腰三角形一大节后，证明题的难度增加，要鼓励学生多尝试，不要怕碰钉子，让他们在不断的试控中积累经验，千万不要逢题必讲，代替学生思考。

　　3. 学生的接受力有差异，兴趣爱好也不同，一定要注意因材施教。对大多数学生要保证他们达到基本要求；对于学有余力的学生，可以布置做B组题或其他有一定难度的题目，保护他们学习的积极性。

　　（三） 注意与代数的配合

　　由于几何教学提前到初一下学期开始，这就使勾股定理的教学与代数中二进制次根式的教学之间的衔接出现了新问题。教科书根据这一情况，调整了勾股定理一大节的教学要求，即在学习勾股定理及其逆定理的开始阶段，题中不涉及二次根式的问题，只出现求具体数的平方根，在学过代数二次根式的内容以后，也就是在第三章的小结与复习阶段，在复习题中再出现涉及二次根式知识的题目。由于各学校教学的实际情况不同，可能会出现代数课的进度拖后的情况，给勾股定理的教学带来一些困难。为解决这个问题，可以适当调整代数与几何的教学进度，如果代数进度慢，可在短期内增加代数课时，然后再增加几何课时，以便在总课时数不变的情况下解决衔接问题。

　　（四） 控制教学要求

　　教学大纲对初中几何教学内容和教学要求都做了调整，降低了对学生用综合法证明几何命题的要求。教科书按照这个精神，注意控制题目的难度。希望教学中把握好教学要求，不要将教科书中已删掉的题目再补回来，更不要为证明一些难题而把删去的定理教给学生，增加学生的课业负担。

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