第九节 角的平分线
典型例题
3.9 角的平分线
例1、已知:如图1,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析:这是证明线段相等问题,由已知利用定理不难证明.
证明:(略)
说明:已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,证明它们相等必须标出它们,这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理。
例2、已知:如图2,PB、PC分别是△ABC的外角平分线,相交于点P.
求证:P在∠A的平分线上
分析:要证结论成立,需要证明P到∠A两边的距离相等,所以作PE⊥AB于E、PG⊥AC于G,为证PE=PG,考虑利用已知的两个角平分线,自然应再作PH⊥BC于H,此时易于发现PE=PH,PH=PG.
证明:(略)
说明:解题关键是标出距离,运用角平分线性质定理的逆定理求证。
例3、写出下列命题的逆命题,并判断它们是真命题还是假命题
(1)全等三角形的对应角相等;
(2)对顶角相等
(3)如果那么
(4)直角三角形的两个锐角互余
分析:写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论。然后将其“换位”;判断一个命题为真要证明,为假要举反例。
解:它们的逆命题分别是:
(1)三个角对应相等的两个三角形全等
(2)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
(3)如果,那么
(4)有两个锐角互为余角的三角形是直角三角形
其中(1)、(2)、(3)为假命题,而(4)为真命题,证明略。
说明:“如果”、“那么”这是标明条件和结论的关键词,若题目没有需转化成这样的句式。
例4、已知:如图3,PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC,D是AP上一点
求证:∠BDP=∠CDP
分析:要证结论成立,只需证△BDP与△CDP全等,这可由条件不难证得。
证明:
说明:本题的证法说明证明角平分线,不一定都要用其判定定理。