第九节 角的平分线

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计算机辅助数学教学过程优化的方法

浙江嘉善泗洲中学 俞界岳 314000

　　摘要：文章以现代教育理论为指导，运用计算机辅助教学的手段，在教学最佳作用点和时机的把握等方面探索了教学过程整体优化的基本途径。提出了课堂教学整体优化的“直观教学、情景教学、示范教学、反馈教学、质疑探究、归纳推理、演绎推理”等七种计算机辅助教学的具体方法，反映了应用上述方法的实践及效果，提出在应用中促进了教师教育观念的转变和教研能力的提高，显著地提高了课堂教学效率，减轻了学生过重的课业负担。

　　关键词：CAMI 过程优化 方法

　　一、引言

　　教学手段现代化的有效性，是教师探索课堂教学方法、手段的方向。要在45分钟的课堂教学中提高教学的效益，进行高效率、高质量的教学，开发学生智力，培养学生创新意识，采用计算机辅助教学势在必行。我们在初中数学课堂教学中探索用计算机辅助教学，是要让多媒体在数学教学中体现它的最佳效果和数学教育的特色，使学生的思维能力能不断向高层次发展。针对不同的教材内容选择最佳的辅助教学方法是把握一堂课的关键。

　　二、优化的方法

　　1、直观教学的方法

　　数和形是数学教学的二大支柱，数形结合思想就是通过数与形（用数解形，以形助数）处理数学问题，从而使问题易于解决。计算机辅助教学为数形结合提供了强有力的手段。 ⑴、等积变形

　　几何画板的动画、运动、测算功能为图形的运动、计算变得简便。如图1，要使四边形ABCD等积变形成一个三角形且保持“AB、BC不动”，可在画板中先过点D画AC的平行线DE，交BC的延长线于点E，在DE上任取点P，连AP、CP。设P到AC的距离为h，则当P在DE上作动画时，S_ΔPAC总等于S_ΔDAC。显然，在P运动到E时符合要求。在图形的运动过程中，同学发现了本题有两解。这时可进一步提出下列问题给学生思考：如果将“AB、BC不动” 换成“BC、CD不动”怎么画？换成“一组邻边不动”则本题有几解？能否将一个五边形等积变形成三角形呢？

　　　
　　　图1　　　　　　　　　图2

　　⑵、图形分解

　　在复杂图形中，如何将目标图形从背景中分离出来是识图的重要一步。如图2，求证等腰三角形两个底角的平分线相等。使用投影片的抽拉或几何画板中的运动功能把ΔABE和ΔACF（或ΔBCE和ΔCBF）从ΔABC中分离出来，同学就一下子认清了图形的相互位置关系，明确了证题的方向，顺利地找到了对应边和对应角，从全等得到BE=CF。再比如在讲圆幂定理时，用几何画板测量AP、BP、CP、DP的长度，并计算AP·BP、CP·DP的值，拖动P点（如图3）。随着P点的变动，学生会观察到上述各数据在不断地变化，但AP·BP 与CP·DP 的值总是相等的。当P在圆内时，反映了相交弦定理AP·BP=CP·DP ，当P在圆外时，就是割线定理AP·BP =CP·DP。对于处在割线的状态，击“运动A→B”按钮，点B靠近直至重合，AP=BP 。这时反映的刚好是切割线定理。多媒体使数形结合成为举手之劳。这里不但使学生能探索到圆幂定理的有关结论，也能体会到圆幂定理之间的内在联系。

　　　
　　 图3　　　　　　　　　　图4

　　2、情景教学的方法

　　心理学认为：注意是心理活动对一定对象的指向和集中。注意与数学学习有着密切的联系。有资料研究表明，新异的刺激具有激活有机体心理状态的作用，使其感观及大脑处于“觉醒状态”，神经细胞的兴奋增加。数学课程的特点之一是内容抽象。因此，考虑如何在传授知识的过程中做到生动形象是数学教师在实践中时常思索的问题。而多媒体在数学教学中的应用可以较好地解决这个难题。 通过图形运动，帮助学生理解教材意图。如省编初中第三册§9.13等腰三角形的判定定理中的例2，根据教参，尽管课本已经给出图形，仍应通过分析，和学生一起画出图形。教学中通过几何画板中的一个运动A→B，屏幕出现了蔚蓝色的海面上一艘船从A处沿正北方向航行至B处（如图4）。画面生动，学生仿佛身临其境，注意力高度集中。经过一组递进式的提问，实际问题化为了数学问题，学生理清了解题思路，再根据学生的叙述，通过显示序列逐步给出解题过程。这样就促使学生很好地理解了教材意图，让学生懂得了定理在解决实际问题中的应用。实际问题常常以动态呈现，有声有色，而多媒体则恰好较为接近、逼真地重现了问题的本来面目。情景能唤起兴趣，而兴趣是带有色彩的心理倾向。初中生尤其是后进生，容易从对直观材料的兴趣过渡到对学习内容的兴趣。充分运用现代化教学设施，是唤起和保持学生注意的有效途径。

　　3、示范教学的方法

　　示范型的课堂教学中，媒体所起的作用主要是提供给学生进行示范模仿的标准行为，它适用于作图示范模仿教学、 查表示范模仿教学、书写格式模仿教学等。

　　　　　　　

　　　
图5　　　　　　　　　　　　图6

　　⑴、作图示范

　　在省编初一数学§4.6“圆规的使用”中要求画出 如图所示的花瓣，教学中可以采用几何画板中的“显示/隐藏”功能，制作显示序列，根据画图的步骤逐步显示作图过程（如图5），并及时指明画图要点，便使得教学过程显得层次井然，要领得当。学生心领神会，很快地画出了图形，按要求涂上了颜色。一幅美丽的图案就诞生了。接着映出图6让同学观察画法，并请同学课后发挥自己的创造力，用圆规画一个漂亮图案，并根据自己爱好添上颜色，大家比一比。经过这一过程，同学们就个个摩拳擦掌，跃跃欲试了。这一方法同样适用于三角形奠基法作梯形，以及长方体、立方体等的作图教学。

　　⑵、查表示范

　　在省编初二数学§10.8立方根表中要查表求0.453的值，教学中，教师在黑板上画表格较麻烦，对着书讲，示范性又不强。但利用 Word97或PowerPiont97制作的立方根表，教师便可在银幕上指点江山，觉得指代明确，学生看得清楚，听得明白，教学效果就事半功倍了。在讲授正弦表、余弦表，特别是正切表、余切表的查法时，这一大屏幕投影教学方法将更显得优越。

　　4、反馈教学的方法

　　教学过程是一个完整的信息传输和控制过程，而控制过程又是通过信息反馈来实现的。利用投影来获取反馈信息是有利的。比如初一的混合运算，尽管运算法则、顺序已学，但作业中仍很容易出错。如何在课堂上最大限度地纠正这些差错，就显得非常重要。如果请同学上台板演，教师希望练习中有正确的，用以示范，同时也有存在的各种错误，以便纠正，但事实上难以如愿。教学中，学生课堂练习可做在课堂练习本或课本上（若是投影仪，则用投影书写专用彩笔写在明胶片上），教师巡视时可有选择地抽取典型练习过程在视屏展示台上反映、讲评。其主要功效是反馈及时，讲评效率高。这样，典型错例能尽早发现，及时纠正，做到有的放矢，避免了少数同学上台板演所不便克服的不足。几何证明中常出现一题多解，课堂练习采用了这一形式，则往往能导致百花齐放，百家争鸣。在观察、讨论、判断中学生明辩了是非、提高了认识、拓宽了思路、开阔了视野。并因反映面广和被反映的不定性，促使了每位同学更全神贯注地做好课堂练习，实践自己的创新意识，发表自己的独到看法，去争取成功的机会或被纠正的机会，课堂气氛热烈。这样做，真正给了同学一个锻炼、发挥才能的舞台，一方面学生学到的知识易于融会贯通，达到了教学活 动要全员参与，让每一个学生都能积极思考并参与实践活动的要求；另一方面，课堂更象学堂，教师更象教练，突出了学生的主体地位，教师的主导作用。这样，学生课余的负担就可以不重了。

　　5、质疑探究的方法

　　质疑探究的课堂教学过程，媒体的作用是向学生提供典型的现象或过程。它主要适用于组织学生观察、思考，探究原因，寻找规律。如表现某现象与事件，探求其发生的根源等等。

　　函数部分是教学中的一大难点，而多媒体在数学教学中通过实验模拟则达到难点突破。使用PowerPoint97的动画效果和几何画板,较好地促进了学生理解题意，进一步明确数量关系。在讲授二次函数 的图象性质时,字母 的值与其相应的图形之间的对应关系、函数的增减性等学生往往难以搞清。教学中切入几何画板（如图7），可直观反映字母 的取值对抛物线开口方向大小、位移、对称轴位置、与 轴交点及函数增减性。通过图形的变化过程，直观、准确地描述了二次函数中数形之间的对应性。由于动画的可持续反复，程度低一些的同学也能较好地领悟。复杂的关系在这里得到有条不紊地充分展示，多么优美的抛物线！几何画板因抛物线的演示而达到了完美。

图7

　　6、归纳推理的方法

　　在归推理型的课堂教学过程中媒体的主要作用是提供若干事实，建立共同经验，形成表象。这种类型主要用于显示特征、对立概念的教学。

　　几何教学中，应重视引导学生观察、分析，培养和发展学生的思维能力。 运用多媒体教学手段进行教学，有利于引导学生观察、分析。如圆周角定理的证明（如图8），可（1）先击动画按钮，通过点B的运动，让学生看演示获得初步结论，思考如何叙述。（2）再观察圆周角有几种形式，寻求证明办法。（3）击显示按钮，使陆续出现下面三种类型。演示中使学生认清圆心在圆周角的一边上是一个特殊位置，启发学生得出证明方法，教师把握显示序列按钮， 分步给出证题过程。（4）接着让学生观察 分析，找出当圆心在圆 周角内部或外部情形下结论的得出方法。（5）最后完整地归纳出圆周角定理。整个过程周全、有条不紊，画面美观而不眼花缭乱。

图8

　　7、演绎推理的方法

　　在逻辑演绎型的课堂教学过程中，媒体的作用是为学生提供典型的、完整的过程事实。这种类型的教学主要是适用于教师借助典型的事实进行分析、推理、演绎，使学生知识迁移。

　　数学教学很重要的就是要展示思维的过程，而这个过程实质上是一个不断变更问题的过程，在这个过程中，教师要引导学生步步深入，激发学生的求知欲，培养探索问题的能力。

　　例如，初三几何中，⊙O和⊙O₁都经过A、B两点。经过点A 的直线CD与⊙O相交于C，与交⊙O₁于D，经过点B的直线FE与⊙O交于点E，与⊙O₁交于点F。 求证：CE∥DF。课本指定本题的图形如图9，按照此图，∠C=∠ABF=180°-∠D，便可得证。作为本例的教学到此可以结束。而从发散思维来考虑，按照题目的叙述，可以演绎成不同的图（如图10、11、12、13、14、15），进一步考虑上面的证法是否适用于每一个图，应该怎样证明。因选用了几何画板，只要根据所需 图9 图10拖动点C、D、E、F，或者推拉⊙O或⊙O_1，便可生成下述各图。这几种情形的证明在本质上是一致的。

  　　　  
图9　　　　　　图10　　　　　　图11　　　　　　图12
　　
图13　　　　　图14　　　　　　图15

　　三、应用实践

　　使用多媒体电脑对呈示信息、激起反应、传授知识是有利的或极有利的。借助几何画板、Authorware、Office97中的PowerPoint97等软件的强大功能，再配以视频展示台，能进行传统教学手段所无法进行的教学过程。

　　1、教学信息传输量大，速度快，传输质量高，应用范围广是多媒体教学过程的主要优势和特点之一。教学中，包括文本、图形、声音、动画、运动和丰富的色彩等各种信息均可由电脑提供。口授难以讲清的知识难点，以及例题讲解，练习题、作业的出示，包括图形的变换、剖析，作图过程的演示等能通过多媒体电脑准确、生动、形象地反映出来，从而取得了最佳的教学效果。

　　2、信息丰富生动。计算机辅助教学为教学提供大量直观的感知材料，更好地符合了教学过程中学生的认识规律，更好地创设了培养确数学思维能力的情景。教材内容通过演示易于看得透、教得活。一题多变、一题多解拓宽了学生的思路，教学重点易于突出，促进了学生对知识的感知、理解和记忆。

　　3、教学效率提高。随着板书时间的大大节省，思考、分析的时间比例上升，为在课堂教学中留给学生足够的思维时间、留给学生探索的空间创造了良好的条件，单位时间内的教学效果明显增强，目标达成度高。学生动手练的时间增多，不仅完成了练习，还可部分或全部完成作业，学生负担轻了。研究中发现，与传统教学相比，课堂时间利用率一般能提高30%-50%左右。

　　4、适应了学生掌握教材的心理过程。学生通过多种渠道摄取知识信息，加速了从感性认识到理性认识的转化。学生的心理活动经常处于积极状态，感知、注意、思维、记忆等效率明显增加。我们看到，利用多媒体教学手段，课堂气氛明显活跃，课堂注意力显著提高，影响课堂教学质量的各种积极因素得到进一步调动。多次试验表明，与传统教学相比，能促进学生记忆率提高在40%-60%左右。

　　卓越的多媒体软件功能使一些难点得以突破，课堂教学进程易于控制，也培养了学生对数学学科的浓厚兴趣，激发了学生的探索精神，创新意识，学生素质得到了提高。从备课中体现出的教师的敬业精神对学生也有榜样作用。

　　通过多年来定期的听课评课，经常性的教研砌磋，我们课题组成员在计算机辅助教学上都作了许多尝试。一方面，用PowerPoint制作幻灯片，通过投影仪在教学中使用。在97年，我的投影片《角平分线的性质》在初中数学投影片制作竞赛中获省壹等奖，并出席在萧山召开的浙江省中学数学电化教育研讨会，在会上开了一堂汇报课《相似三角形应用举例（一）》，并就进行电化教育的尝试作了交流发言。另一方面，采用PowerPoint97和几何画板制作多媒体CAI课件，在多媒体教室里试用。经过不断实践和交流，对多媒体教学的认识和操作水平有了提高。我用多媒体CAI课件执教的省编第三册《§9.13等腰三角形的判定定理》在98年浙江省第二次初中青年数学教师优秀课评比中获贰等奖（该课件《§9.13等腰三角形的判定定理》被评为浙江省计算机辅助数学教学优秀课例贰等奖）。论文《在初中数学教学中进行电化教学的认识与实践》97年获市壹等奖、98年获省贰等奖。97年获县、市首届“高质量、高效率”课堂教学奖。98年获嘉兴市“高质量、高效率”课堂教学壹等奖。我们参加课题实验的四所中学里，每学年的期终统考及毕业会考中实验班的平均分、合格率、优秀率均明显地超过了对照班。“希望杯”数学竞赛获奖人数 明显增加。我们的课题《运用电教手段优化数学教学过程的实践与研究》教学成果获嘉兴市壹等奖、浙江省第一届基础教育教学成果奖贰等奖。

　　四、结论

　　实践证明，利用计算机辅助教学，深化了对教学过程的认识，增强了对教学最佳作用点和时机的把握能力，促进了教师教育观念的转变和教研能力的提高，有效地促进了课堂教学结构的整体优化，有利于课堂教学效率的提高，学生过重的课业负担的减轻，有利于学生数学思想、方法、技能等素质的提高。

　　主要参考文献

　　①田万海 《数学教育学》 浙江教育出版社 1993.6 第308页
　　②罗剑虹 《主体·参与·创新》 上海科学技术出版社《开创21世纪数学教育新局面》2000.
　　③刘 坤 《试论提高智力参与度在数学学习中的作用》 浙江教育出版社 1996.

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