第十三节 等腰三角形的判定

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关于等腰三角形的10个探索性问题

宁夏西吉县第二中学 刘学中

　　适当开展探索性问题的教学，对于提高学生的学习兴趣，培养学生的分析能力、探究能力，有相当重要的意义，下面给出10个有关等腰三角形的探索性问题，可供初中数学教师在课堂教学课外辅导参考或选用．

10个问题

　　1．以已知线段AB为一边的等腰三角形的另一顶点C的集合是什么？请画图说明．

　　2．以已知线段AB为一边的等腰直角三角形的另一顶点P共有几个位置？请画图说明．

　　3．已知线段AB和直线l，等腰△PAB的顶点P在直线l上．这样的P点可能有几个？并画出一种图形．

　　4．已知正方形ABCD，试在该平面内找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形．这样的点P共有几个位置？请画出图形．

　　5．已知正三角形ABＣ，试在该平面内找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形．这样的点P共有几个位置？请画出图形．

　　6．已知 △ABC中，AB＞AC，能使得△PAB、△PAC都是等腰三角形的点P最多能有几个？最少有几个？分别画出图形．

　　7．已知线段AB、CD(直线AB与直线CD斜交)，能使得△PAB、△PCD都是等腰三角形的点P最多能有几个？最少有几个？分别画出图形．

　　8．在平面上画四个点，使得在度量它们每两点之间的距离时总共只有两个值．请画出形状不同的各种图形．

　　9．在平面上能否画出5个点甚至6个点，使得其中每三个点都构成一个等腰三角形？

　　10．有一个等腰三角形，可以用一条线段把它分割成两个仍然等腰的三角形．求原三角形各内角的度数．(请注意各种可能的情况)

答案及说明

　　1．点C的集合构成以A、B为圆心，以AB长为半径的两圆，以及线段AB的垂直平分线，但它们与直线AB的交点除外(图1)．

　　[说明]本题也就是求点C的轨迹，应注意完备性和纯粹性．其结论可简称为“两圆一线”，是后面2至7题的基础．若从立体几何的角度来看，点C的集合则构成“两球面一平面”．

　　2．P点的位置共有6个(图2)．

　　[说明]在上题“两圆一线”的基础上，很容易找到这6个点．这里用了“交轨法”．若从立体上看，点P的集合构成三个圆．

　　3．P点的个数可能是0、1、2、3、4、S及无数个，图8是5个P点的情况，其他图形从略．

　　[说明]本题是题1结论的简单应用．关键是看直线l和关于AB的“两圆一线”有几个交点(或切点)．变式训练：可将原题中直线l改为已知⊙O，也可将原题中图形置于直角坐标系中，求P点的坐标．

　　4．P点共有9个位置(图4)．

　　[说明]记住关于每一条边的“两圆一线”，就不会漏掉某些点．若从立体上看，则点P的集合构成四圆一直线．

　　5．P点共有10个位置(图5)．

　　[说明]本题同上题类似．若从立体上看，则点P的集合构成六圆一直线(A、B、C三点除外)．

　　6．符合要求的P点最多有14个，最少有4个(图6)．

　　[说明]本题P点个数的多少，完全取决于关于AB的“两圆一线”与关于AC的“两圆一线”之间交点(或切点)个数的多少．随着AB、AC长度及其夹角大小的变化，P点个数可以从4个一直增加到14个．若已知AB=AC，则点P有无穷多个，它们主要集中在一个圆上．

　　7．符合要求的P点最多有17个，最少有1个(图7)．

　　[说明]本题的画法与第6题类似．若AB∥CD或AB⊥CD，则P点的个数还有可能为无穷多，也可能为零．

　　8．下列6种图形中每一种图形的A、B、C、D四点，都符合题目的要求(图8)．

　　[说明]第8、9、10三题，需要不断地探索，否则不易把图形画全．

　　9．符合题目要求的5个点及6个点的图形如图9所示．

　　[说明]图中各点都是建立在正五边形的基础上．是否还有其他图形，是否能画出更多的点符合题目要求，尚待进一步探索．

　　10．符合要求的等腰三角形共有四种，如图10所示．

　　△ABC三内角的度数分别为：(1)45°，45°，90°；(2)36°，72°，

　　[说明]图10中各三角形三内角度数之比分别为：(1)1∶1∶2；(2)1∶2∶2；(3)3∶1∶ 1；(4)1∶ 3∶ 3．

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