第十五节 轴对称和轴对称图形

典型例题

　　例1　如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁与△ABC关于MN对称．

　　分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．

　　作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A₁使A₁D＝AD，得点A的对称点A₁

　　（2）同法作点B、C关于MN的对称点B_1、、C₁

　　（3）顺次连结A₁、B₁、C₁

　　∴△A₁B₁C₁即为所求

　　说明：首先做出关键的点关于直线的对称点．

　　例2　如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，

　　且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：

　　（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

　　（2）最短路程是多少？

　　分析：若A、B两点在直线的两侧，自然想到连结AB，交点即为所求的点，但本题的A、B在直线的同侧，如何转化为异侧呢？我们容易想到“翻折”即“轴对称”．若 点A关于直线的对称点A₁，则对于直线上的任意点到A和A₁的距离总相等．

　　解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，

　　在CD上作一点M，使AM+BM最小，

　　先作点A关于CD的对称点A₁，

　　再连结A₁B，交CD于点M，

　　则点M为所求的点．

　　证明：（1）在CD上任取一点M₁，连结A₁M₁、AM₁、BM₁、AM

　　∵直线CD是A、A₁的对称轴，M、M₁在CD上

　　∴AM＝A₁M，AM₁＝A₁M₁

　　∴AM+BM＝AM₁+BM＝A₁B

　　在△A₁ M₁B中

　　∵A₁ M₁+BM₁＞AM+BN即AM+BM最小

　　（2）由（1）可得AM＝AM₁，A₁C＝AC＝BD

　　∴△A₁CM≌△BDM

　　∴A₁M＝BM，CM＝DM

　　即M为CD中点，且A₁B＝2AM

　　∵AM＝500m

　　∴最简路程A₁B＝AM+BM＝2AM＝1000m

　　说明：所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小；在上述基础上，利用三角形性质．实际问题要善于转化为数学问题.

　　例3　已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE

　　求证：CE＝DE

　　分析：要证CE＝DE，即证明E在CD的垂直平分线上即可，为此，我们构造出关于CD的垂直平分线的轴对称图形来证明．

　　证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF

　　∵AE＝BD，　△ABC为等边三角形

　　∴BF＝BE，　∠B＝

　　∴△BEF为等边三角形

　　

　　∴△BEC≌△FED

　　∴CE＝DE

　　说明：解题关键是作出正确的辅助线

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