第十五节 轴对称和轴对称图形

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巧用对称 出奇制胜

　　对称是数学中一个重要的概念，在生产、生活中也给人以美的感受人教社，教科书《几何》第二册介绍了轴对称和轴对称图形，并要求会画简单的对称图形，除会简单的作图外，事实上应用对称的性质解决一些数学问题，会得到一种独特、新颖的很美的数学方法．

　　例1 矩形 ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM于E．

　　

　　证明 如图1，以BC为对称轴，作矩形ABCD的对称图形，由于M是BC的中点，所以D＇在直线AM上，DE是Rt△ADD＇的斜边上的高，于是

　　AD＇·DE＝AD·DD ＇，

　　

　　你若有兴趣，不妨用“相似三角形”来证明此题，你将感到“轴对称”方法的优越性．

　　例2 如图2是三个正方形拼成的一个矩形．

　　求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°．

　　显然只需证∠1＋∠2＝45°，如何将∠1与∠2放在一起是本题的关键，我们以AF为对称轴，作三个正方形的对称图形AB'C'D'E'F，如图2，连结AD'、D'E，易见∠2＝∠E'ED．因此只需证∠D'EA＝45°，事实上，由Rt△AB'D'≌Rt△D'E'E．可知 AD'＝D'E，且∠AD'B'＋∠ED'E'90°，从而有∠AD'E＝90°，即△AD'E是等腰直角三角形，因此∠D'EA＝45°成立．

　　在证明几何题目中，常常选择某直线为对称轴，把不是轴对称的图形，通过对称变换补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件相对集中，用这种思想能添出许多条有用的辅助线来，从而将不易入手的问题变得易于解决．

　　例3 已知 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1．求△ABC的面积．

　　解 因为在Rt△ABC中，∠A＝15°，不能用已有知识直接求出AC，我们将∠A
翻折使A点与B点重合，折痕是AB的垂直平分线．由此得到启示，作AB的

　　

　　例4 已知△ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，且AE＝BD，连结 CE、DE．

　　求证 CE＝DE．

　　解 用对称将图形“补齐”，延长BD到F，使BC＝DF并且连结EF，然后再证△EBC≌△EDF(轴对称图形)，从而得出结论EC＝ED．

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