第十六节 勾股定理

典型例题

　　例1已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.

　　分析： 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到 ，于是不难求CD.

　　解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

　　

　　∴ ∠2＝∠C

　　又

　　∴

　　∴CD的长是2.4cm

　　说明：本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD

　　例2　如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一点，求证：

　　分析：从结论 考虑，应将AD放到直角三角形中去，为此考虑过A作垂线段或过D作垂线段，构造Rt△的两种方案，这样就得到两种证法

　　证法一：过点A作AE⊥BC于E

　　则在Rt△ADE中，

　　又∵AB＝AC，∠BAC＝

　　∴AE＝BE＝CE

　　

　　即

　　证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F

　　则DE∥AC，DF∥AB

　　又∵AB＝AC，∠BAC＝

　　∴EB＝ED，FD＝FC＝AE

　　在Rt△EBD和Rt△FDC中

　　

　　

　　在Rt△AED中，

　　∴

　　说明：涉及到三角形中边的平方关系时应考虑运用勾股定理，而勾股定理只有在直角三角形中成立．

　　例3　设 求证：

　　分析：本题是一个代数问题，从结构特点即平方关系，考虑运用几何的方法也就是利用勾股定理来解决．

　　证明：构造一个边长 的矩形ABCD，如图

　　在Rt△ABE中

　　

　　在Rt△BCF中

　　

　　在Rt△DEF中

　　

　　在△BEF中，BE+EF＞BF

　　即

　　说明：勾股定理将直角三角形的两边垂直的位置关系转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．

　　例4　国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

　　分析：有几种设计方案的，把每种方案的线路长均计算出来，从中择优．

　　解：不妨设正方形的边长为1，则图1、图2中的总线路长分别为

　　AD+AB+BC＝3，AB+BC+CD＝3

　　图3中，在Rt△DGF中

　　

　　同理

　　∴图3中的路线长为

　　图4中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

　　由∠FBH＝ 　及勾股定理得：

　　EA＝ED＝FB＝FC＝

　　∴EF＝1－2FH＝1－

　　∴此图中总线路的长为4EA+EF＝

　　∵3＞2.828>2.732

　　∴图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线．

　　说明：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

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