第十七节 勾股定理的逆定理

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化圆为方问题

　　古代几何中，有3个著名的几何难题，其中之一是化圆为方问题，这个问题自提出后，经历了许多人的手，在给定的条件下，没有一个能令人信服地解决这个问题

　　19世纪，在人们提示了数的本质后，才认识到问题的症结这所在，原来的圆的面积为 （R为圆的半径），其中 是一个超越数，它是不能精确测得的，假设化圆为方的话，其边长为m，则问题就是要： ．这个问题由于 的缘故而受到了挫折，成为一个千古难题．

　　数学的研究，有一个根本的东西就是条件，化贺，圆为方问题不能解的条件，就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺，指望能通过有限次的作图，把圆的面积化为等积的正方形，如果我们取消了这个限制，就是改换条件，这个问题不仅可以解决，而且解决的方法还不只一种．

　　15世纪著名画家达.芬奇曾有一个很巧妙的办法在不加圆规，直尺限制条件下实现了化圆为方．他的作法是：如图

　　取半径为R的直圆柱，其高取为R/2，将其沿侧棱剪开，得一矩形，这个矩形的一边长为R/2，另一边长为 ，它的面积恰好为 ，这一步他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以R/2和 为基础，作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为 ,这一步，他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以R/2和 为基础,作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为 ．

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