第五节 矩形

矩形教学示例 第一课时

　　一、教学目标

　　1．掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系．

　　2．掌握矩形的性质定理．

　　3．使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

　　4．通过性质的学习，体会矩形的应用美．

　　二、教法设计

　　观察、启发、总结、提高，类比探讨，讨论分析，启发式．

　　三、重点、难点及解决办法

　　1．教学重点：矩形的性质及其推论．

　　2．教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　教具（一个活动的平行四边形），投影仪及胶片，常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教具演示、创设情境，观察猜想，推理论证

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？

　　【引入新课】

　　我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形， 堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形（写出课题）．

　　【讲解新课】

　　制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

　　矩形的性质：

　　既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．

　　继续演示教具，当它变成矩形时，学生容易看到它的四个角都是直角；它的对角线也相等（写出这两个结论），指出观察出来的结论不能做为定理，需要证明．引导学生利用平行四边形角的性质证明得出．

　　矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．

　　矩形性质定理2：矩形对角线相等．

　　由矩形性质定理2我们可以得到

　　推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

　　（这实际上是 △的一个重要性质，即 △斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到）

　　 例1  已知如图1 矩形 的两条对角线相交于点 ， ， ，求矩形对角线的长．（按教材的格式）

　　（强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算）

　　【总结、扩展】

　　1．小结：（用投影打出）

　　（1）矩形、平行四边形、四边形从属关系如图．

　　（2）矩形性质．

　　1．具有平行四边形的所有性质．

　　2．特有性质：四个角都是直角，对角线相等．

　　

　　3．思考题：已知如图， 是矩形 对角线交点， 平分 ， ，求 的度数

　　八、布置作业

　　教材P158中2、5，P195中7．

　　九、板书设计

　　十、随堂练习

　　教材P146中1、2、3、4

　　

矩形教学示例 第二课时

　　一、教学目标

　　1．掌握矩形的性质定理．

　　2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力

　　二、教法设计

　　观察、启发、总结、提高，类比探讨，讨论分析，启发式．

　　三、重点、难点及解决办法

　　1．教学重点：矩形的判定．

　　2．教学难点：矩形的判定及性质的综合应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　教具（一个活动的平行四边形），投影仪及胶片，常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教具演示、创设情境，观察猜想，推理论证

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？

　　2．矩形有哪些性质？

　　3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

　　【引入新课】

　　1．矩形的判定．

　　2．矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．

　　【讲解新课】

　　1．矩形判定定理

　　矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．

　　矩形判定定理2：对角钱相等的平行四边形是矩形．

　　分析判定定理1

　　教师问：四边形内角和等于多少度？根据四边形内角和定理，可知第四个角是多少度？最后由定义知此四边形为矩形．

　　分析判定定理2

　　教师问：如图1，这个定理有几个条件？学生答；有两个．（1）是平行四边形，（2）两条对角线相等．

　　 教师问：据此只需征什么就可以了？

　　学生答：只要证一个角是直角就可以了．

　　引导学生完成证明．

　　教师问：两条对角线相等的四边形是不是矩形？

　　学生答：不是．

　　教师问：为什么？

　　学生答：因为两条对角线相等，推不出四边形是平行四边形．

　　归纳矩形判定方法（由学生小结）：

　　（1）一个角是直角的平行四边形．

　　（2）对角线相等的平行四边形．

　　（3）有三个角是直角的四边形．

　　2．矩形判定方法的实际应用

　　除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．

　　3．矩形知识的综合应用

　　例2  已知 的对角线 ， 相交于 ，△ 是等边三角形， ，求这个平行四边形的面积（图2）．

　　分析解题思路：

　　（1）先判定 为矩形．

　　（2）求出 △ 的直角边 的长．

　　（3）计算 ．

　　【总结、扩展】

　　1．小结

　　（1）矩形的判定方法l、2都是有两个条件：

　　①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．

　　判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角．

　　（2）要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．

　　2．思考题：已知：如图3 中，以 为斜边作 △ ，又 为直角．求证：四边形 是矩形．

　　八、布置作业

　　教材P158中3、4，P159中13（1）；P196中8

　　九、板书设计

矩形（二） 矩形的判定　　　　　　　　　　　　　　　小结 判定定理1：……　　　　　例2……　　　（1）…… 判定定理2：……　　　　　　　　　　　　（2）……

　　十、随堂练习

　　教材P148中1、2

　　补充

　　1．若 是四边形 对角线的交点，且 ，则四边形 是（　）

　　A．平行四边形　B．矩形　C．梯形　D．以上答案均不对

　　2．已知：在四边形 中， ，且

　　求证：四边形 是矩形

　　3．已知 中， ， ， ，

　　求证：四边形 是矩形

　　

矩形教学设计

　　教学目标

　　1．知道矩形的定义和矩形与平行四边形之间的联系；能说出矩形的四个角都是直角和矩形的的对角线相等的性质；能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。

　　2．能运用以上性质进行简单的证明和计算。

　　此外，从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生辨证唯物主义观点。

　　引导性材料

　　想一想：一般四边形与平行四边形之间的相互关系？在图4．5－l的圆圈中填上“四边形”和“平行四边形”的字样来说明这种关系：即平行四边形是特殊的四边形，又具有一般四边形的一切性质；具有一些特殊的性质。

　　

　　小学里已学过长方形，即矩形。显然，矩形是平行四边形，而且矩形还具有四个角都是直角(小学里已学过)等特殊性质，那么，如果在图4.5-1中再画一个圈表示矩形，这个圈应画在哪里？

　　(让学生初步感知矩形与平行四边形的从属关系。)

　　演示：用四根木条制作一个平行四边形教具。利用平行四边形的不稳定性，演示如图4.5-2，当平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况，这时的图形是什么图形(矩形)。

　　

　　问题1：从上面的演示过程，可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？

　　说明与建议：教师的演示应充分展现变化过程，从而让学生深切地感受到短形是无数个平行四边形中的一个特例，同时，又使学生能正确地给出矩形的定义。

　　问题2：矩形是特殊的平行四边形，它除了“有一个角是直角”以外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？

　　说明与建议：让学生分组探索，有必要时，教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”矩形的四个角都相等（矩形性质定理1），要学生给以证明（即课本例1后练习第1题）。

　　学生能探索得出“矩形的邻边互相垂直”的特性，教师可作说明：这与矩形的四个角是直角本质上是一致的，所以不必另列为一个性质。

　　学生探索矩形的四条对角线的大小关系时，如有困难，可引导学生测量并比较矩形两条对角线的长度，然后加以证明，得出性质定理2。

　　问题3：矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的对角线既互相平分又相等，由此，我们可以得到直角三角形的什么重要性质？

　　说明与建议：(1)让学生先观察图4.5-3，并议论猜想，如学生有困难，教师可引导学生观察图中的一个直角三角形(如Rt△ABC)，让学生自己发现斜边上的中线BO与斜线AC的大小关系，然后让学生自己给出如下证明：

　　证明：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=BD(矩形的对角线相等)。

　　 ，AO=CO

　　∴在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，且 。

　　∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　

　　例题解析

　　例1：(即课本例1)

　　说明：本题难度不大，又有助于学生加深对性质定理的理解，教学中应引导学生探索解法：

　　如图4.5－4，欲求对角线BD的长，由于∠BAD=90°，AB=4cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边的长，或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD=120°出发，应用矩形的性质可知，∠ADB=30°，另外，还可以引导学生探究△AOB是什么特殊的三角形（等边三角形），课本用了第一种解法，并给出了解几何计算题书写格式的示范；第二种解法如下：

　　

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AC=BD（矩形的对角线相等）。

　　又 。

　　∴OA＝BO，△AOB是等腰三角形，

　　∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°- 120°= 60°

　　∴∠AOB是等边三角形。

　　∴ BO＝AB＝4cm，

　　∴ BD＝2BO=24×4cm=8cm。

　　例2：（补充例题）

　　已知：如图4．5－5四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， E是AC的中点，EF平分∠BED交BD于点F。

　　（l）猜想：EF与BD具有怎样的关系？

　　（2）试证明你的猜想。

　　解：（l）EF垂直平分BD。

　　（2）证明：∵∠ABC=90°，点E是AC的中点。
　　∴ （直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半）。
　　同理： 。
　　∴BE=DE。

　　又∵EF平分∠BED。

　　∴EF⊥BD，BF=DF。

　　

　　说明：本例是一道不给出“结论”，需要学生自己观察---猜想---讨论的几何命题，有助于发展学生的推理(包括合情推理和逻辑推理)能力。如果学生不适应，或有困难，教师可根据实际情况加以引导，这种训练，重要的不是猜对了没有？证明了没有？而是让学生经历这样一种自己研究图形性质的过程，顺便指出：求解本题的重要基础是识图技能----能从复杂图形中分解出如图4.5-6所示的三个基本图形。

　　

　　课堂练习

　　1.课本例1后练习题第2题。

　　2.课本例1后练习题第4题。

　　小结

　　1.矩形的定义：

　　2.归纳总结矩形的性质：

　　对边平行且相等

　　四个角都是直角

　　对角线平行且相等

　　3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。

　　作业

　　l．课本习题4．3A组第2题。

　　2．课本复习题四A组第6、7题。