第五节 矩形
典型例题一
例 填空题
(1)如图1,矩形 的对角线长为2, ,则 .
(2)如图2,在矩形 中, ,垂足为 , ,则 ,则 的度数是____________.
图1 图2
解 (1)∵四边形 是矩形 ∴
∵ ∴
在 中,
∴
(2)∵四边形 是矩形 ∴ ,
∴
∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
∴ .
典型例题二
例1 求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值.
已知:如图,在△ 中, , 为 上任意一点, , ,垂足分别为 、 .
求证: 是定值.
分析 这种例题首先要探求出这个定值,由于 是底边 上一个动点,那么它的极端位置当然是在端点上了,不妨设点 运动到 点,此时 , 为腰 上的高(高是不变量)那么下面就只须证明 等于一腰上的高就可以了.
证法一 如图,连结 ,过点 作 ,垂足为 .
∵ .
,
又∵ ,
∴
∵
∴ 即 为定值.
证法二 如图,过点 作 ,垂足为 ,
过点 作 ,垂足为 .
∵ , ,
∴
∴四边形 是矩形.
∴ ,
∴
∵
∴
∴
∵ ,
∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴ ∴
即 为定值.
证法三 如图,过点 作 ,垂足为 ,过点 作 交 的延长线于 .
∵ , ,
∴
∴四边形 是矩形,∴ , ,
∴
∵ ∴ ,∴
∵ ∴ ∴
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ∴
∴
即 为定值.
注意 证法(一)用三角形的面积公式求解,此法新颖、简捷.由此可见三角形的高不离积(面积),有关三角形的高(高的长度)的问题可以考虑用面积法探索其解(证)法.
典型例题四
例1 如图, 中,以为斜边作 △ ,又 为直角.
求证:四边形 是矩形。
分析 因为平行四边形的对角线互相平分,所以点 既是 △ 斜边 的中点,又是 △ 斜边 的中点,因此连结 ,不难证明 .
证明 连结
∵四边形 是平行四边形,∴
∵△ 是直角三角形,∴
同理: ,∴
又∵四边形 是平行四边形
∴四边形 是矩形.
典型例题三
例1 如图,在矩形 中, , , 为 的中点, ,垂足为 ,且 , ,求 的长.
分析 利用△ 的面积与矩形 的面积之间的关系可求出 ,所以要连结 .
解 连结
∵四边形 是矩形
∴
∴
在 △ 中,
∵
∴
∵ , , ∴ .
例2 如图1,矩形 中, , 交 于 ,矩形的周长为22,求 的长.
分析 要求 的长,必须求出 的长,由 , ,可证明△ ≌△ ,这样就可证得 ,利用矩形的周长及 的长,就可是求出 的长.
解 ∵四边形 是矩形,∴
∵ ∴
∴
∵
图1 |
∵
在△ 和△ 中
∴△ ≌△ ,∴
∵ ∴
在 △ 中
.