第十节 三角形中位线

教学设计示例

　　一、教学目标

　　1．掌握中位线的概念和三角形中位线定理

　　2．掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

　　3．能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力

　　4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

　　5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣

　　二、教学设计

　　画图测量，猜想讨论，启发引导.

　　三、重点、难点

　　1．教学重点：三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

　　2．教学难点：三角形中位线定理的证明.

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、常用画图工具

　　六、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．叙述平行线等分线段定理及推论的内容（结合学生的叙述，教师画出草图，结合图形，加以说明）．

　　2．说明定理的证明思路．

　　 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，如何证明 ？

　　分析：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等即可．如要证 ，只要 即可．首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后用平行线等分线段定理即可证出．

　　4．什么叫三角形中线？（以上复习用投影仪打出）

　　【引入新课】

　　1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线．

　　（结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在 中，画出中线、中位线）

　　2．三角形中位线性质

　　了解了三角形中位线的定义后，我们来研究一下，三角形中位线有什么性质．

　　如图所示，DE是 的一条中位线，如果过D作 ，交AC于 ，那么根据平行线等分线段定理推论2，得 是AC的中点，可见 与DE重合，所以 .由此得到：三角形中位线平行于第三边．同样，过D作 ，且DE FC，所以DE ．因此，又得出一个结论，那就是：三角形中位线等于第三边的一半．由此得到三角形中位线定理．

　　三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半．

　　应注意的两个问题：①为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析此定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结论）．②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线．可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力．但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明．

　　由学生讨论，说出几种证明方法，然后教师总结如下图所示（用投影仪演示）．

　　（l）延长DE到F，使 ，连结CF，由 可得AD FC．

　　（2）延长DE到F，使 ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC．

　　（3）过点C作 ，与DE延长线交于F，通过证 可得AD FC．

　　上面通过三种不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（证明过程略）

　　例  求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

　　（由学生根据命题，说出已知、求证）

　　已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

　　求证：四边形EFGH是平行四边形．‘

　　 分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形．

　　证明：连结AC．

　　

　　∴ （三角形中位线定理）．

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四边形EFGH是平行四边形．

　　【小结】

　　1．三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别．

　　2．三角形中位线定理及证明思路．

　　七、布置作业

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板书设计

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教学设计示例

　　一、教学目标

　　1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理

　　2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”

　　3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力

　　4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

　　5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣

　　二、教学设计

　　引导分析、类比探索，讨论式

　　三、重点和难点

　　1．教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．

　　2．教学难点：梯形中位线定理的证明．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片，常用画图工具

　　六、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．什么叫三角形的中位线？它与三角形中线有什么区别？三角形中位线又有什么性质（叙述定理）．

　　2．叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2（学生叙述，教师画草图，如图所示，结合图形复习）.

　　（由线段EF引入梯形中位线定义）

　　【引入新课】

　　梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

　　现在我们来研究梯形中位线有什么性质.

　　 如图所示：EF是 的中位线，引导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？（ ）  （2）如果 ，那么DF与FC，AD与GC是否相等？为什么？（3）EF与AD、BG有何关系？
，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线.

　　由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

　　现在我们来证明这个定理（结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结）.

　　已知：如图所示，在梯形ABCD中， .

　　 求证： .

　　分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得.

　　说明：延长BC到E，使 ，或连结AN并延长AN到E，使 ，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证 即可得 ，从而证出定理结论.

　　证明：连结AN并交BC延长线于点E.

　　

　　又 ，

　　∴MN是 中位线.

　　∴ （三角形中位线定理）.

　　

　　复习小学学过的梯形面积公式 .

　　（其中a、b表示两底，h表示高）

　　因为梯形中位线 所以有下面公式：

　　

　　

　　例题：如图所示，有一块四边形的地ABCD，测得 ，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.

分析：这是一个不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积.

　　解： ，

　　　　　　　　　

　　

　　答：这块地的面积是 182 ．

　　说明：在几何有关计算中，常常需要用代数知识，如列方程求未知量；在列方程时又需要根据几何中的定理，提醒学生注意数形结合这种解决问题的方法．

　　【小结】

　　以回答问题的方式让学生总结）

　　（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？

　　（2）梯形中位线有什么性质？

　　（3）梯形中位线定理的特点是什么？

　　（同一个题没下有两个结论，一是中位线与底的位置关系；二是中位线与底的数量关系）．

　　（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用投影仪）

　　学过梯形、三角形中位线概念后，可以把平行线等分线段定理的两个推论，分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．

　　七、布置作业

　　教材P188中8、P189中10、11． B组2（选做）

　　九、板书设计

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