第十节 三角形中位线

典型例题1

　　例1 如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点.求证：OE= BE.

　　分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到 线段的一半，从而可以得到某线段的 ；又已知3AE=2AC，得AE= AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线.

　　证明：取AE中点F，连结DF，∵D是AB中点，∴DF是△ABE的中位线

　　∴DF= BE且DF//BE（三角形中位线定理）

　　∵3AE=2AC，∴AE= AC

　　∴AF=FE=EC= AC

　　在△CFD中，∵EF=EC且

　　DF//BE即OE//DF，

　　∴CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）

　　∴OE是△CDF的中位线

　　∴OE= DF

　　∴OE= BE.

　　说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理.遇中点，作中位线是常见的辅助线.

　　例2 已知：如图，△ABC中，E、F分别是AB、CB的中点，G、H为AC上两点，且AG=GH=HC，延长EG、FH交于点D.求证：四边形ABCD是平行四边形.

　　分析：图中有两个中点，两个三等分点，联想到：若分别连结BG，BH可分别构造两个三角形中位线的环境，从而得到EG//BH即GD//BH，同理BG//DH，得平行四边形BHDG，它与四边形ABCD共对角线BD，那么用对角线互相平分来判定平行四边形成为可能.

　　证明：分别连结BG，BH，BD交AC于O

　　∵E是AB中点，AG=GH

　　∴EG是△ABH的一条中位线

　　∴EG//BH，即GD//BH

　　同理可证BG//DH

　　∴四边形BHDG是平行四边形.

　　∴BO=OD，GO=OH.

　　又∵AG=HC ∴AG+GO=HC+OH

　　即AO=OC 又BO=OD（已证）

　　∴四边形ABCD是平行四边形.

　　说明：有中点条件，一般都需要构造中位线环境或中线环境.

　　

典型例题2

　　例 已知：如图，在△ABC中AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点.

　　求证：CD=2CE.

　　分析：这是证明线段的倍半问题.证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证线段的相等问题.这就是通常所说的“加倍”，“折半”的方法.下面我们就把问题转化成证明线段的相等.

　　方法1：找出CD的一半，然后证明CD的一半和CE相等，因此要取CD中点F，证CF=CE.

　　证明：取CD的中点F，连结BF

　　∴CD=2CF

　　∵AB=BD

　　∴BF是△ADC的一条中位线

　　BF//AC，BF= AC

　　∴∠2=∠ACB

　　∵AB=AC，∴∠1=∠ACB

　　∴∠1=∠2

　　∵E是AB中点，∴BE= AB

　　∵BF= AC，且AB=AC

　　∴BE=BF

　　△BCE和△BCF中

　　

　　∴△BCE≌△BCF（SAS）

　　∴CE=CF

　　∵CD=2CF ∴CD=2CE.

　　方法2：找出CE的2倍，然后证明CE的2倍和CD相等，因此要延长CE到F使EF=CE.证CF=CD.

　　证明：延长CE至F使EF=CE，连结FB.

　　∴CF=2CE，∠1=∠2

　　∵E为AB中点，∴AE=BE

　　在△AEC和△BEF中

　　

　　∴△AEC≌△BEF（SAS）

　　∴AC=BF，∠3=∠F

　　∴AC//BF

　　∴∠FBC+∠ACB=180⁰

　　∵∠CBD+∠ABC=180⁰

　　∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

　　∴∠FBC=∠DBC

　　∵AC=AB，AB=BD，AC=BF.

　　∴BF=BD.

　　在△CBF和△CBD中

　　

　　∴△CBF≌△CBD（SAS）

　　∴CD=CF

　　∵CF=2CE

　　∴CD=2CE

　　此题还有其它证法，请同学们思考.

　　说明：证明线段相等的方法很多，要学会根据条件来选择合适当方法.

　　

典型例题3

　　例4  如图所示，在 中， 于D，M为BC的中点.

　　求证：

　　分析：由中点想中位线是我们解有关中点问题常用的思维方式，取AC的中点N，连结MN、DN， ，所以只需证 即可.

　　证明  取AC的中点N，连结MN、DN.

　　又∵M是BC的中点，

　　∴ .

　　∴     ∵N是Rt 的中点，

　　∴ ，     ∴ .

　　又∵ ，  ∴ .

　　     ∴ ，

　　∴       .

　　说明：换一个角度来思考这个问题，又有另外的证法：取AB的中点P，连结PD、MP，则MP为 的中位线，所以PM平行于AC， ，PD是Rt 斜边AB上的中线，所以 ，∴ ，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和知： 等于 与 之和，但 等于2 ，所以 等于2 ，所以 ，从而 ，因此 ，命题得证.

　　例5 如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.

　　分析 欲证∠AEF=∠DFE，由MN⊥EF想到延长BA、CD与NM的延长线交于P、Q，只需证明∠EPN=∠Q.如何利用中点的条件？想到三角形的中位线.连线BD，取BD的中点G，则有 由于AB=CD，进而有GM=GN，∠GMN=∠GNM.然后再转化∠EPN=∠Q.从而证出结论.

　　证明 延长BA、CD分别与NM的延长线交于P、Q，连结BD，取BD的中点G，连结GM、GN.

　　∵G、M分别为△ABD的边BD、AD的中点，
　　∴ 
　　同理可得：

　　又∵

　　∵ ∥ ∥ ，

　　∴

　　∴

　　∴ （等角的余角相等）

　　说明 添辅助线是证明几何题的难点，尤其像本题要添多条辅助线，更为困难.掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是在分析中自然添辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结.