第一节 比例线段
典型例题
例1 已知:线段 .求a、b、c的第四比例项.
分析:只要根据第四比例项的概念来求.
解答:由 ,可得 .
解得:
说明:要牢固掌握相关概念及性质.
例2 已知: ,求a、b的比例中项c.
分析:根据比例中项的概念来解.
解答:因为c为a、b的比例中项,所以 .所以 .
说明:容易把负值丢掉,应从概念上加以注意.
例2 已知: ,求 。
分析:只要根据比例的有关性质来解。
解答:由比例的基本性质,得: 。
所以 。
即 。
于是 。
说明:将比例式看成等式,用方程的观点处理比例式的问题是一种很好的方法。
例3 已知:如图所示,在 中, ,且 .(1)求AD的长;(2)求证: .
分析:(1)设AD为x,则已知的比例式是关于x的方程,(2)运用合比性质.
解答:(1)设 ,则 .
因为 ,
所以 ,
解之得 ,即 cm.
(2)因为 ,
所以 ,即 .
所以 .
说明:要根据情况灵活运用比例的性质.
例4 已知: ,求 .
分析:可分别从比的前后项凑出 、 .也可设比值为k,将x、y、z用k表示.
解答:解法一 因为 ,
所以 .
由等比定理,有 .
同样有 ,得 .
所以 .
解法二 设 ,则 .
所以 .
说明:比值法中引进的比值k,可以看成是辅助未知数,它在题目中为联系x、y、z的桥梁,这种方法我们常使用.
例5 如图,线段AB长 ,点C是黄金分割点, ,设以AC为边的正方形ACDF的面积为 ,以BC为一边,AB长为另一边的矩形BCFG的面积为 ,试求 和 .
分析 由黄金分割点的意义可知: ,设 ,可列出二次方程求出 ,则 均可求.
讲解 ∵点C是黄金分割点,
∴
设
解方程,得
∵线段不能为负,∴
∴
∴
说明(1)当 ,这个结果要记住,当 时, .
(2)求得的 是显而易见的.∵点C是黄金分割点,∴ 即为 即为 .