第四节 三角形相似的判定

三角形相似的判定教学示例1

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生了解判定定理1及直角三角形相似定理的证明方法并会应用，掌握例2的结论．

　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．

　　二、教学设计

　　类比学习，探讨发现

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：是判定定理l及直角三角形相似定理的应用，以及例2的结论．

　　2．教学难点：是了解判定定理1的证题方法与思路．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体、常用画图工具、

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？

　　2．叙述预备定理．由预备定理的题所构成的三角形是哪两种情况．

　　［讲解新课］

　　我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有

　　三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们

　　来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？

　　上节课讲的预备定理实际上就是一个判定三角形相似的方法，现在再来学习几种三角形相似的判定方法．

　　我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形

　　全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：

　　问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？

　　答：SAS、ASA（AAS）、SSS、HL．

　　问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

　　答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

　　问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

　　答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

　　强调：（1）学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引导、纠正．

　　（2）用类比方法找出的新命题一定要加以证明．

　　如图5-53，在△ABC和△ 中， ， ．

　　问：△ABC和△ 是否相似？

　　分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．

　　问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？

　　答：①三角形的定义，②上一节学习的预备定理．

　　问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？

　　答：预备定理，因为用定义条件明显不够．

　　问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形？

　　答： 或 ．

　　问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

　　此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．

　　（1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取 ，过D作DE∥BC交AC于E．

　　“作相似．证全等”．

　　（2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取 ，在边AC（或延长线上）截取AE= ，连结DE，“作全等，证相似”．

　　（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

　　虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

　　简单说成：两角对应相等，两三角形相似．

　　 ， ，

　　 ∽ ．

　　例1  已知 和 中 ， ， ， ．

　　求证： ∽ ．

　　此例题是判定定理的直拉应用，应使学生熟练掌握．

　　例2 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．

　　已知：如图5-54，在 中，CD是斜边上的高．

　　求证： ∽ ∽ ．

　　该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑体字，所以可以当作定理直接使用．

　　即 　　　 ∽△∽△．

　　［小结］

　　1判定定理1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路．

　　2．判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．

　　七、布置作业

　　教材P238中A组3、4．

　　八、板书设计

　　

三角形相似的判定教学示例2

（第2课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生了解判定定理2、3的证明方法并会应用．

　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．

　　二、教学设计

　　类比学习，探讨发现

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：是判定定理2、3的应用．

　　2．教学难点：是了解判定定理2的证题方法与思路．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体、常用画图工具、

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

　　2．叙述判定定理1，定理1的证题思路是什么？（①作相似，证全等，②作全等，证相似）．

　　［讲解新课］

　　类比三角形全等判定的“SAS”让学生得出：

　　判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

　　简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

　　已知：如图，在 和 中，

　　 且 ．

　　求证： ∽

　　建议“已知、求证”要学生自己写出．

　　另外，依照判定定理1的两个证明思路，让学生自己说出辅助线的作法．

　　下面判定定理3的引出与证明同判定定理2，这里从略．

　　在讲解判定定理3的过程中，再一次强调使用比例证明线段相等的方法，以便使学生能够熟练掌握它．

　　例3  依据下列各组条件，判定 与 是不是相似，并证明为什么：

　　（1） ， ，

　　     

　　（2） ， ，

　　  

　　解：让学生试着写出解题过程

　　这种类型的题具有两层意思：一是对正确的题目加以证明；二是对不正确的题目要说出理由或举反例，但后者对于初二学生来说比较困难．为降低难度，这里的题目全是正确的，只要求学生能用学过的知识给出证明就可以了，不必研究如何判定两个三角形不相似．

　　［小结］

　　1．让学生了解判定定理2、3的证明思路与方法．

　　2．会利用两个判定定理判定两个三角形是否相似．

　　七、布置作业

　　教材P238中A组5、P241中B组1．

　　八、板书设计

　　

三角形相似的判定教学示例3

（第3课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．

　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．

　　二、教学设计

　　类比学习，探讨发现

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用．

　　2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．

　　四、课时安排

　　3课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体、常用画图工具、

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）

　　2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．

　　其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）

　　3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？

　　【讲解新课】

　　类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：

　　直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

　　已知：如图，在 ∽ 中，

　　求证： ∽

　　建议让学生自己写出“已知、求征”．

　　这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．

　　定理证明过程中的“ 都是正数， ，其中 都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若 ，到 ”是假命题（可举例说明），而命题“若 ，且 、 均为正数，则 ”是真命题．

　　例4  已知：如图， ， ， ，当BD与 、 之间满足怎样的关系时 ∽ ．

　　解（略）

　　教师在讲解例题时，应指出要使 ∽ ．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．

　　还可提问：（1）当BD与 、 满足怎样的关系时 ∽ ？（答案： ）

　　（2）如图，当BD与 、 满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？（不指明对应关系）

　　（答案： 或 两种情况）

　　探索性题目是已知命题的结论，寻找使结论成立的题设，是探索充分条件，所以有一定难度，教材为了降低难度，在例4中给了探索方向，即“BD与 满足怎样的关系式．”

　　这种题目体现分析问题的思维方法，对培养学生研究问题的习惯有好处，教师要给予足够重视，但由于有一定难度，只要求学生了解这类问题的思考方法，不应提高要求或增加难度．

　　［小结］

　　1．直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用．

　　2．让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法．

　　3．关于探索性题目的处理．

　　七、布置作业

　　教材P239中A组9、教材P240中B组3.

　　八、板书设计