第四节 三角形相似的判定

典型例题

　　例1、（上海市，2001）如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个  △A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁∽△ABC(相似比不为1)，且点A₁、B₁、C₁都在单位正方形的顶点上．

　　分析：此题是一道开放题，满足条件的图形较多，不能盲目地去画图，关键要抓住图形的特征．

　　如∠ACB=135°，这样就容易解决．

　　解：如图，可知∠ABC=∠ ，

　　不妨设小正方形的边长为1个单位，

　　则 ， ，

　　∴△A₁B₁C₁∽△ABC．

　　∴ △A₁B₁C₁即为所求．

　　说明：（1）此题答案有多种，通过本题加强对数学素质和数学能力培养；（2）解此题的关键是认真分析图形，找出切入点，利用所学的知识解决；（3）在判断三角形相似时，要灵活应用定理，如本题要用“两角对应相等，两三角形相似”则较难．

例2、如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于F，则图中相似三角形共有_______对.

　　分析：图形中相似形较多，不能盲目的取找，先对相似形分类，再计算．

　　解：由条件可知：

　　(1) △ABD∽△CDB；

　　(2) △ABE∽△DFE；

　　(3) △AED∽△GEB；

　　(4) △ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形．

　　∴图形中一共有6对相似三角形．

　　说明：（1） 识图是一种思维训练，它也是能力的培养，在今后的解题中非常重要；（2）△ABG∽△FCG∽△FDA，三个相似的三角形，是怎样组成3对相似三角形？（它是一个组合问题）不妨设这三三角形为a、b、c，则它们可组成：ab、ac；bc．你看出其中的规律了吗？请你考虑4个、5个、……都相似三角形，可以组成多少对相似三角形．

　　例3、（河北省，2001）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．

　　求证：△ADQ∽△QCP．

　　分析：要找出解决问题的切入点，现已知∠D=∠C=90°，而有很难找出第二个角对应相等，根据条件切入点在边的比，这样问题就解决了．

　　证明：在正方形ABCD中，

　　∵Q是CD的中点，

　　∴ .

　　∵ ， ∴

　　又∵BC=2DQ，

　　∴ ，

　　在△ADQ和△QCP中， ，∠C=∠D=90°

　　∴△ADQ∽△QCP．

　　说明：解此题的关键是认真分析图形，找出切入点，利用所学的知识解决，灵活应用定理．

　　例4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．

　　（1）求证： ；

　　（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使 ，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

　　分析：此题的（1）是基本问题，很容易证明，问题（2）虽是存在性问题．由 ，可知，在图形中是否存在点D，△ABC∽△ACD，需要分∠C>∠B与．∠C<∠B，进行分类讨论．

　　证明：（1）∵CD是Rt△ABC的高线，

　　∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

　　∴

　　∴ ．

　　解：（2）①当∠C>∠B时（如图1），存在，使∠1=∠B，则在AB边上点D，使 ．

图1

　　证明：在△ABC和△ACD中，

　　∵   ∠1=∠B，∠A=∠A，

　　∴△ABC∽△ACD，

　　∴ ，  ∴ ．

　　②当∠C<∠B时（如图2），满足条件的D点不存在．

图2

　　若存在点D使，（不包括A、B两个顶点），使 ，则 ，

　　又∵∠A=∠A，

　　∴△ABC∽△ACD，

　　∴∠1=∠B，  但∠1 <∠C<∠B．

　　∴满足条件的D点不存在．

　　说明：问题（1）是双垂直图形的重要结论，常常在证明和计算中应用；问题（2）是存在问题也好，分类讨论问题也好，其关键问题是对相似三角形的常见图形认识．

图3

　　如图3，在在△ABC和△ACD中

　　  ．

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