第三节 一元二次方程的根的判别式

教学设计示例

一元二次方程的根的判别式（一）

　　一、教学目标

　　1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

　　2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

　　3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

　　二、重点·难点及解决办法

　　1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

　　2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

　　3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

　　三、教学步骤

　　（一）教学过程

　　1．复习提问

　　（1）平方根的性质是什么？

　　（2）解下列方程：① ；② ；③ 。

　　问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

　　2．任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。

　　（1）当 时，方程有两个不相等的实数根。

　　即

　　（2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。

　　（3）当 时，方程没有实数根。

　　教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

　　答： 。

　　3．①定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。

　　②一元二次方程 。

　　当 时，有两个不相等的实数根；

　　当 时，有两个相等的实数根；

　　当 时，没有实数根。

　　反之亦然。

　　注意以下几个问题：

　　（1） 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

　　（2）当 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

　　4．例题讲解

　　例1  不解方程，判别下列方程的根的情况：

　　（1） ；（2） ；（3） 。

　　解：（1）

　　∴原方程有两个不相等的实数根。

　　（2）原方程可变形为

　　 。

　　 ，

　　∴原方程有两个相等的实数根。

　　（3）原方程可变形为

　　 。

　　

　　∴原方程没有实数根。

　　学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算 的值；（3）判别根的情况。

　　强调两点：（1）只要能判别 值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

　　练习：不解方程，判别下列方程的情况：

　　（1） ；（2） ；

　　（3） ；（4） ；

　　（5） ；（6）

　　学生板演、笔答、评价。

　　（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设 ，判别方程 根的情况，由此判别原方程根的情况。

　　例2  不解方程，判别方程 的根的情况。

　　解： 。

　　又  ∵  不论k取何实数， ，

　　∴  原方程有两个实数根。

　　教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定 的取值。

　　练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） 。

　　学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

　　（3）解：

　　          

　　∵  不论m取何值， ，即 。

　　∴  方程无实数解。

　　由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

　　（二）总结、扩展

　　1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

　　（1）定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。

　　（2）一元二次方程 。

　　当 时，有两个不相等的实数根；

　　当 时，有两个相等的实数根；

　　当 时，没有实数根。反之亦然。

　　2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

　　四、布置作业

　　教材P27A1～4。

　　5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

　　（1）

　　（2）

　　五、板书设计

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