第三节 一元二次方程的根的判别式
典型例题
例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1) ;
(2) ;
(3) .
分析 不解方程,要想判别方程的根的情况,只要把 求出即可判别.
解 (1)原方程可化为
∵ ,
∴ ,
∴原方程有两个不相等的实数根;
(2)∵ ,
∴ ,
∴原方程没有实数根;
(3)原方程可化为
∵ ,
∴ ,
∴原方程有两个相等的实数根.
说明:用根的判别式来判别根的情况,一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式.
例2 若关于 的方程 有两个不相等的实数根,求 的取值范围.
分析 因为方程有两个不相等的实数根,所以方程是一元二次方程,因此, .
解 方程 有两个不相等的实数根的条件是
解这个方程组,得
所以, 的取值范围是 ,但 .
说明:解此类题目,一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组,然后求方程组的解集.
例3 求证:当 和 的符号相反时,一元二次方程 一定有两个不相等的实数根.
分析 要想证明方程有两个不相等的实数根,须先写出 .
证明:在 中,当当 和 的符号相反时,有
,
又由于 为任何实数时,总有 ,
于是有 .
所以,当 和 的符号相反时,一元二次方程 一定有两个不相等的实数根.
说明:证明给出了一个命题,不必计算 的值,只要看一看 和 的符号是否相反即可.一般情况下, 为正值,只要 是负数,一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.
例4 (1)已知 、 、 是三角形的三边,判别方程 根的情况;
(2)若方程 没有实数根,判别方程 根的情况;
分析 两个方程的系数都含有字母,但字母人为地给出一定的条件,因此,是在特定的条件下,对“ ”的表达式进行分析,从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“ ”表达式之间的沟通.
解 (1)
∵ 、 、 为三角形的三边
∴
∴
∴原方程无实数根.
(2) 方程 没有实数根的条件:
,即 ,
所以, .
对于方程 ,
∵ ,∴ ,∴
∴方程 有两个不相等的实数根.
说明:求解这类问题,首先要由给出的条件,确定字母的取值范围或字母之间的关系,然后在这样的特定条件下,确定“ ”的符号,以判定根的情况.
例5 (1) 取何值时,关于 的方程 的有两个实数根?
(2)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,求 的最大整数值.
解 (1) 关于 的方程 有两个实数根的条件是
解方程组,得:
.
所以,当 时,方程 的有两个实数根.
(2)方程 有两个不相等的实数根的条件是
解方程组,得:
∴
∴ 的最大整数值为0.
说明:一定不要忽略题目的隐含条件. 第(1)小题方程有两个实数根,一定为一元二次方程,所以一定有 .第(2)小题说方程是一元二次方程,一定有二次项系数不为零.