第四节 一次函数

典型例题

　　例1 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．

　　(1)正方形周长p和一边的长a．

　　(2)圆的面积A与半径R．

　　(3)长a一定时矩形面积y与宽x．

　　(4)15斤梨售价20元．售价y与斤数x．

　　(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．

　　(6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．

　　分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．

　　解：(1)∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项所以也是正比例函数．

　　(2) ，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．

　　(3)y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．

　　

　　(5)y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．∴y是x的一次函数但不是正比例函数．

　　(6)M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．

　　说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）

　　(1)中正方形边长a＞0．

　　(3)中矩形的宽0＜x＜a．

　　(4)中梨的斤数x≥0．

　　(5)所存月数x≥0．

　　

　　例2、某工厂有煤m吨，每天烧煤n吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？

　　分析：设烧煤x天后余煤y吨，则可建立函数关系式y=m-nx．又知当x=3时，y=102；x=8时，y=72．从而组成方程组

　　求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．

　　解：设烧煤x天后余煤y吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是

y=m-nx

　　由题意知x=3时y=102，x=8时y=72，可得

　　从而求出n=6，m=120．

　　所以函数关系式是y=120-6x(0＜x≤20)

　　当x=15时，y=120-6×15=30

　　答：烧煤15天后余煤30吨．

　　说明：列方程可以解应用题，利用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实际问题．

　　例3 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7．

　　(1)求y与x之间的函数关系式．

　　(2)求当x=2时y的值．

　　(3)求当y=-3时x的值．

　　分析：y-3与x成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0)

　　解：(1)∵(y-3)是x的正比例函数

　　　∴设y-3=kx(k≠0)

　　　把x=2时y=7代入上式得k=2

　　　∴y与x的函数关系式为y=2x+3

　　　y是x的一次函数

　　　(2)当x=2时，y=2×2+3=7

　　　(3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3

　　说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设成y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．

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