第五节一次函数的图象和性质

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:14阅读：nyq

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典型例题

　　例1、已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y的值；(2)当y=2时x的值；(3)图象与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）当x为何制值时；（5）当时y的取值范围；（6）时x的取值范围；（7）求的面积；（8）方程的解

　　分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．

　　解：

　　列表：

x	0	6
	3	0

　　描点连线得图象

　　(1)当x=-1时，

　　(2)当y=2时，x=2；

　　(3)A(6，0)、B(0，3)；

　　(4)x＜6时，y＞0；x=6时，y=0；x＞6时，y＜0

　　(5)当时，

　　(6)当-1≤y＜4时，-2＜x≤8；

　　(7)

　　(8)方程的解是x=6

　　说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x值可求y的值；(2)已知y的值可求x的值；(3)已知x的变化范围可求y的变化范围，反之也可求．

　　函数方程当y为零时x的值就是方程方程的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。

　　例2、 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k、b的情况：

　　分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方来决定b的正负．正比例函数过原点b=0．

　　解：图(1)中k＞0，b=0；图(2)中k＜0，b=0；图(3)中k＜0，b＞0；图(4)中k＜0，b＜0．

　　例3、 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

　　分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MON的面积转化为M点的纵坐标

　　解：根据题意画示意图，过点M作MC⊥ON于C

　　　∵点N的坐标为(-6，0)

　　　∴|ON|=6

　　　∴MC=5

　　　∵点M在第二象限

　　　∴点M的纵坐标y=5

　　　∴点M的坐标为(-4，5)

　　　∵一次函数解析式为y=k₁x+b

　　　正比例函数解析式为y=k₂x

　　　直线y=k₁x+b经过(-6，0)

　　　∵正比例函数y=k₂x图象经过(-4，5)点，

　　例4、 在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．

　　分析：根据题意画出示意图

　　因为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可．点P的位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其二在O，B之间，如果P点在OB之外，则不满足四边形ABPC的条件，所以点P只能在O，B之间，所以S=S_△AOB-S_△COP，故只要求出两个三角形面积即可．

　　解：∵一次函数在y轴上交点B的坐标是(0，5)

　　　根据题意：得A(10，0)

　　　∴OB=5，OA=10

　　　∵点C坐标为(6，0)，点P坐标是(0，y)

　　　∴OC=6，OP=y

　　　∵S=S_△AOB-S_△COP